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■48478 / 親記事)  積分に関する質問
  
□投稿者/ on 一般人(1回)-(2018/07/10(Tue) 21:14:30)
    ∫√(x^2+a)dx=1/2{x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)}+C(Cは積分定数)が成り立つことを証明しろ
    という問題の解き方を教えてください。t=x+√(x^2+a)と置くのかなと考えましたが、そこからの展開が分かりません。よろしくお願いします。
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■48483 / ResNo.1)  Re[1]: 積分に関する質問
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2018/07/13(Fri) 19:00:45)
    2018/07/13(Fri) 20:17:10 編集(投稿者)

    # 成り立つことの証明だけなら右辺を微分してみれば良いと思いますが。
    # 蛇足ですが、左辺の不定積分の計算方法は以下の通りです。

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    t = x+√(x^2+a)
    とおけば
    ⇒ (t-x)^2 = x^2+a
    ⇒ t^2-2tx = a
    ⇒ (t^2-a)/(2t) = (1/2)(t-a/t) = x
    ⇒ dx = (1/2)(1+a/(t^2))dt

    また
    √(x^2+a) = t-x = t-(1/2)(t-a/t) = (1/2)(t+a/t)

    問題の不定積分をIとおくと、
    I = ∫√(x^2+a)dx
    = ∫(1/2)(t+a/t)(1/2)(1+a/(t^2))dt
    = (1/4)∫{t+2a/t+(a^2)/(t^3)}dt
    = (1/4){(t^2)/2+2a*log(t)-(a^2)/(2(t^2))}+C

    ここで
    t^2 = {x+√(x^2+a)}^2 = x^2+2x√(x^2+a)+(x^2+a) = 2(x^2)+a+2x√(x^2+a)

    1/(t^2) = {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{{2(x^2)+a+2x√(x^2+a)}{2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}}
    = {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{{2(x^2)+a}^2-{2x√(x^2+a)}^2}
    = {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{4(x^4)+4a(x^2)+a^2-4(x^2)(x^2+a)}
    = {2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{a^2}

    よって、
    I = (1/4){{2(x^2)+a+2x√(x^2+a)}/2+2a*log(t)-(a^2){{2(x^2)+a-2x√(x^2+a)}/{a^2}}/2}+C
    = (1/4){(x^2)+a/2+x√(x^2+a)+2a*log(t)-{(x^2)+a/2-x√(x^2+a)}}+C
    = (1/4){2x√(x^2+a)+2a*log(t)}+C
    = (1/2){x√(x^2+a)+a*log(x+√(x^2+a))}+C
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