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■48439 / 親記事)  不等式
  
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2018/05/02(Wed) 00:04:20)
    次の不等式を証明してください。

    a^4 + b^4 + c^4 + d^4 >= 4abcd

    よろしくお願いします。
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■48440 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2018/05/02(Wed) 02:43:46)
    a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd
    ={(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(a^2-d^2)^2+(b^2-c^2)^2+(b^2-d^2)^2+(c^2-d^2)^2
     +2(ab-cd)^2+2(ac-bd)^2+2(ad-bc)^2}/3≧0 なので
    a^4+b^4+c^4+d^4≧4abcd

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■48441 / ResNo.2)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2018/05/02(Wed) 07:37:48)
    別解

    べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
    a, b, c, dは実数と解釈して回答します。

    相加平均と相乗平均の大小関係を応用します。

    a^4-2(a^2)(b^2)+b^4 = (a^2-b^2)^2 ≧ 0
    c^4-2(c^2)(d^2)+d^4 = (c^2-d^2)^2 ≧ 0
    ですから、
    a^4+b^4+c^4+d^4 ≧ 2(a^2)(b^2)+2(c^2)(d^2)・・・・・(1)

    同様に
    (a^2)(b^2)-2abcd+(c^2)(d^2) = (ab-cd)^2 ≧ 0
    ですから、
    (a^2)(b^2)+(c^2)(d^2) ≧ 2abcd・・・・・(2)

    (1)(2)より、
    a^4+b^4+c^4+d^4 ≧ 2(a^2)(b^2)+2(c^2)(d^2) ≧ 2*2abcd = 4abcd
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■48442 / ResNo.3)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2018/05/02(Wed) 22:17:25)
    らすかる様 ご教授ありがとうございました。
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■48443 / ResNo.4)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2018/05/02(Wed) 22:18:56)
    WIZ様 ご教授ありがとうございました。
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