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■48423 / 親記事)  三角関数
  
□投稿者/ フロリック 一般人(1回)-(2018/01/23(Tue) 00:42:55)
    zが虚数ならcos(z)≠0である
    ことの証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48432 / ResNo.1)  Re[1]: 三角関数
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2018/04/05(Thu) 19:31:34)
    x,yを実数
    z=x+iy…(1)
    とする
    zが虚数で
    cos(z)=0
    と仮定すると
    cos(z)
    =(e^{iz}+e^{-iz})/2
    =(e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)})/2
    =(e^{ix-y}+e^{-ix+y})/2
    =(e^{ix}e^{-y}+e^{-ix}e^y)/2
    =[e^{-y}(cosx+isinx)+e^y(cosx-isinx)]/2
    =[(e^{-y}+e^y)cosx+i(e^{-y}-e^y)sinx]/2
    =0
    cos(z)の実数部=0だから
    (e^{-y}+e^y)cosx=0…(2)
    cos(z)の虚数部=0だから
    (e^{-y}-e^y)sinx=0…(3)
    e^{-y}+e^y>0
    だから(2)の両辺をe^{-y}+e-yで割ると
    cosx=0
    だから
    x=2nπ±π/2…(4)
    これを(2)に代入すると
    (e^{-y}-e^y)sin(2nπ±π/2)=0
    ↓sin(2nπ±π/2)=±1だから両辺をsin(2nπ±π/2)で割ると
    e^{-y}-e^y=0
    両辺にe^yを加えると
    e^{-y}=e^y
    両辺にe^yをかけると
    1=e^{2y}
    両辺のlogをとると
    0=log1=2y
    左右を入れ替えると
    2y=0
    両辺を2で割ると
    y=0
    これを(1)に代入すると
    z=x
    だから
    zは実数であるから
    zが虚数である事に矛盾するから
    cos(z)≠0
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