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■48412 / 親記事)  模範解答の解説お願いします
  
□投稿者/ yellowman 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 21:40:21)
    模範解答
    OA=3 OB=1∠AOB=120°である三角形OABにおいて線分OA1:4に内分する点をC、線分OBを3:2に内分する点をDとしさらに線分ABをt:1−tに内分する点をEとする。

    このときの↑CD=−1/5↑OA+3/5↑OB
    ↑CE=(4/5−t)↑OA+t↑OB

    ↑OA・↑OB=−3/2

    ∠DCE=90°とする場合、↑CD・↑CE=0
    t=3/5となる

    さらに、三角形CDEの外接円と線分ABの2交点のうちEでないほうをF
    とし、AF:FB=u:1-uとすると、u=12/13
    となる。また、線分CDと線分OFの交点をGとすると、OG/GF=13/12と書ける。
    ※u=12/13の出し方
    DF⊥AB
    ↑DF・↑AB=(↑OF−↑OD)・(↑OA−↑OB)
    {(1−u)↑OA+u↑OB−3/5↑OB}・(↑OA−↑OB)
    と記されてました

    ↑AB=↑OB−↑OAになりませんか?

    そこが一番気になりました。

    全体的にもう少し詳しく説明頂けると幸いです。
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■48524 / ResNo.1)  Re[1]: 模範解答の解説お願いします
□投稿者/ muturajcp 一般人(18回)-(2018/08/22(Wed) 09:20:10)
    |OA|=3
    |OB|=1
    ∠AOB=120°である三角形OABにおいて
    線分OAを1:4に内分する点をCとすると
    OC=(1/5)OA
    線分OBを3:2に内分する点をDとすると
    OD=(3/5)OB
    だから
    ↑CD=OD-OC=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB
    線分ABをt:1-tに内分する点をEとすると
    OE=(1-t)OA+tOB
    OC=(1/5)OA
    だから
    ↑CE=OE-OC=(1-t)OA+tOB-(1/5)OA=(4/5-t)↑OA+t↑OB
    |OA|=3
    |OB|=1
    ∠AOB=120°
    だから
    ↑OA・↑OB=|OA||OB|cos∠AOB=3cos120°=-3/2
    ∠DCE=90°とする場合、
    ↑CD・↑CE=0
    ↑CD=(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB
    ↑CE=(4/5-t)↑OA+t↑OB
    だから
    ↑CD・↑CE
    ={(-1/5)↑OA+(3/5)↑OB}・{(4/5-t)↑OA+t↑OB}
    =(-1/5)(4/5-t)|OA|^2+{(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}(↑OA・↑OB)+(3t/5)|OB|^2
    =
    (-9/5)(4/5-t)+(-3/2){(-t/5)+(3/5)(4/5-t)}+(3t/5)=0
    -9(4/5-t)+(-3/2){-t+3(4/5-t)}+3t=0
    -9(4-5t)+(-3/2){-5t+3(4-5t)}+15t=0
    -3(4-5t)-(6-10t)+5t=0
    -12+15t-6+10t+5t=0
    30t-18=0
    5t-3=0
    5t=3
    t=3/5となる
    さらに、三角形CDEの外接円と線分ABの2交点のうちEでないほうをF
    とし、
    AF:FB=u:1-uとすると、
    OF=(1-u)OA+uOB
    ∠DFE=90°
    DF⊥BA
    だから
    ↑DF・↑BA=(↑OF-↑OD)・(↑OA-↑OB)=0
    {(1-u)↑OA+u↑OB-(3/5)↑OB}・(↑OA-↑OB)=0
    {(1-u)OA+(u-3/5)OB}・(OA-OB)=0
    (1-u)|OA|^2+(u-3/5-1+u)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0
    (1-u)|OA|^2+(2u-8/5)(OA・OB)-(u-3/5)|OB|^2=0
    9(1-u)+(-3/2)(2u-8/5)-(u-3/5)=0
    9-9u-3u+12/5-u+3/5=0
    12-13u=0
    12=13u
    u=12/13
    となる。
    また、線分CDと線分OFの交点をGとすると、
    OG=xOF=(1-y)OC+yOD
    OF=(1/13)OA+(12/13)OB
    OC=(1/5)OA
    OD=(3/5)OB
    (x/13)OA+(12x/13)OB={(1-y)/5}OA+(3y/5)OB
    {(x/13)+(y-1)/5}OA+{(12x/13)-(3y/5)}OB=0
    (x/13)+(y/5)-(1/5)=0
    (12x/13)-(3y/5)=0
    (4x/13)-(y/5)=0
    (5x/13)-(1/5)=0
    5x/13=1/5
    x=13/25
    OG=(13/25)OF=(13/25)(OG+GF)
    (12/25)OG=(13/25)GF
    12OG=13GF
    12|OG|=13|GF|

    |OG|/|GF|=13/12
    と書ける。
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