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■48404 / 親記事)  円環
  
□投稿者/ ロードムービー 一般人(1回)-(2017/12/28(Thu) 04:02:42)
    xy平面で1≦x^2+y^2≦4かつa≦x≦a+1で表される領域の面積をS(a)とします。
    aが実数を動いたときのS(a)の最大値は何になりますか?
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■48405 / ResNo.1)  Re[1]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/12/28(Thu) 04:49:29)
    自作問題ですか?
    y≧0の部分でx=bが円環を切る長さをT(b)とすると
    b≧0に対するT(b)は
    b=0のとき1
    0<b<1で増加
    b=1のとき√3
    1<b<2で減少
    b=2で0
    となりますので
    0<b<1でT(b)=T(b+1)となるとき
    S(b)が最大値になります。
    これを式にすると
    √(4-(a+1)^2)=√(4-a^2)-√(1-a^2)
    これを整理して
    3a^4+4a^3-20a^2-8a+12=0
    この適解は
    a=0.64937650279271053573542013931590976133167538436917…
    これを、積分で得た面積の式
    (a+1)√(3-2a-a^2)-a√(4-a^2)+a√(1-a^2)
    +4arcsin((a+1)/2)-4arcsin(a/2)+arcsin(a)-π/2
    に代入することにより
    S(a)=2.82301777887522403405247654637239676648465183078042…
    を得ます。

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■48415 / ResNo.2)  Re[2]: 円環
□投稿者/ ロードムービー 一般人(2回)-(2017/12/29(Fri) 11:05:42)
    有り難うございました!!
    東大後期の問題なのですが、どこをどう探しても答がなかったので助かりました!!
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■48416 / ResNo.3)  Re[3]: 円環
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2017/12/29(Fri) 11:31:02)
    2017/12/29(Fri) 11:48:19 編集(投稿者)

    > 東大後期の問題

    ということは、数値解でなく解析的に書き表された解があるということですね?

    (追記)
    とりあえず a={√(26+2√7)-√7-1}/3 と書けますので
    厳密解も書けることは書けますね。
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