数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■48362 / 親記事)  複素数
  
□投稿者/ りょう 一般人(1回)-(2017/10/21(Sat) 11:43:53)
    次の条件をみたす複素数cは複素平面のどこにあるのでしょうか?
    [条件] 複素数zがz+1/z=cをみたすならば、|z|=1である
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48363 / ResNo.1)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/10/22(Sun) 01:54:38)
    z=r(cosθ+isinθ), c=a+biとおいて
    z+1/z=cに代入して整理すると
    (r+1/r)cosθ+(r-1/r)isinθ=a+bi
    ∴(r+1/r)cosθ=aかつ(r-1/r)sinθ=b
    (sinθ)^2+(cosθ)^2=1を使ってsinθ,cosθを消去すると
    {a/(r+1/r)}^2+{b/(r-1/r)}^2=1
    整理して
    r^8-(a^2+b^2)r^6+(2a^2-2b^2-2)r^4-(a^2+b^2)r^2+1=0 … (1)
    問題の条件を満たすためには、
    (1)の実数解が(あれば)r=±1のみでなければならない。
    (1)の左辺は
    (r^2-1)^2・(r^4-(a^2+b^2-2)r^2+1)-4b^2r^4
    と変形でき、b≠0ならばr=0のとき正、r=1のとき負となるので
    0<r<1である実数解を持つ。
    従って実数解がr=±1のみであるためにはb=0でなければならない。
    (1)でb=0として整理すると
    (r^2-1)^2・(r^4-(a^2-2)r^2+1)=0
    (r^2-1)^2=0の解はr=±1なので
    r^4-(a^2-2)r^2+1=0が実数解を持たないか、
    あるいは実数解を持つ場合はr=±1となればよい。
    実数解を持たない条件は
    x^2-(a^2-2)x+1=0が実数解を持たない
    → 判別式D=(a^2-2)^2-4<0 → -2<a<2かつa≠0
    または
    x^2-(a^2-2)x+1=0が負の実数解のみを持つ
    → 軸(a^2-2)/2<0かつ判別式≧0(かつy切片>0) → a=0
    実数解を持つ場合は
    r=±1を代入するとa=±2となり、
    逆にa=±2ならばr=±1なので a=±2
    これらをまとめると -2≦a≦2 となり、
    b=0なので、条件を満たす複素数cは
    -2≦c≦2を満たす実数。

    # もっと簡潔な導き方がありそうな気がします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48367 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数
□投稿者/ りょう 一般人(2回)-(2017/10/23(Mon) 11:27:27)
    有り難うございます!
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48372 / ResNo.3)  Re[1]: 複素数
□投稿者/ Jouk 一般人(1回)-(2017/11/12(Sun) 22:32:03)
    {x+x/(x^2+y^2)==a,(y-y/(x^2+y^2))==b,x^2+y^2==1}
    を解いて c=a+b*i=2 Sqrt[1-y^2]+0*i or c=a+b*i=-2 Sqrt[1-y^2]+0*i

         より   c は -2\[LessFullEqual]c\[LessFullEqual]2を満たす実数。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター