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■48360 / 親記事)  極値
  
□投稿者/ 安室 一般人(1回)-(2017/10/06(Fri) 21:50:59)
    x^2 + 2 x y + 3 y^2 - 2 y - 4 = 0 のとき x の最小値, 最大値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48515 / ResNo.1)  Re[1]: 極値
□投稿者/ muturajcp 一般人(7回)-(2018/08/17(Fri) 16:41:44)
    x^2+2xy+3y^2-2y-4=0
    (x+y)^2=-2y^2+2y+4
    (x+y)^2=-2(y+1)(y-2)≧0
    (y+1)(y-2)≦0
    -1≦y≦2
    x=-y±√(4+2y-2y^2)

    x'
    =-1±(1-2y)/√(4+2y-2y^2)
    ={±(1-2y)-√(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)
    ={(1-2y)^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    ={1-4y+4y^2-(4+2y-2y^2)}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =(6y^2-6y-3)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =3(2y^2-2y-1)/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}
    =6{y-(1-√3)/2}{y-(1+√3)/2}/√(4+2y-2y^2)/{±(1-2y)+√(4+2y-2y^2)}

    x=-y+√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1-√3)/2の時x'>0だからxは増加
    y=(1-√3)/2の時最大値x=(-1+3√3)/2
    (1-√3)/2<y<2の時x'<0だからxは減少

    x=-y-√(4+2y-2y^2)の時
    -1≦y<(1+√3)/2の時x'<0だからxは減少
    y=(1+√3)/2の時最小値x=(-1-3√3)/2
    (1+√3)/2<y<2の時x'>0だからxは増加

    最小値x=(-1-3√3)/2
    最大値x=(-1+3√3)/2
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