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■48356 / 親記事)  ベクトルについて。
  
□投稿者/ コルム 一般人(4回)-(2017/09/23(Sat) 20:28:35)
    点Oを中心とする円に内接する△ABCがあり、AB=2、AC=3、BC=√7とする。点Bを通り直線ACと平行な直線と円Oとの交点のうち点Bと異なる点をD、直線AOと直線CDの交点をEとする。(1) 内積↑AB・↑AO、↑AC・↑AOはそれぞれどうなるか。

    (2) ↑AOを↑ABと↑ACを用いて表すと、どうなるか。

    (3) ↑ADを↑ABと↑ACを用いて表すと、どうなるか。

    (4) CE:DEはどうなるか。
    教えていただけると幸いです。お願いできないでしょうか?
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■48523 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトルについて。
□投稿者/ muturajcp 一般人(17回)-(2018/08/20(Mon) 11:10:10)
    点Oを中心とする円に内接する△ABCがあり、
    AB=2、AC=3、BC=√7とする。
    点Bを通り直線ACと平行な直線と円Oとの交点のうち点Bと異なる点をD、
    直線AOと直線CDの交点をEとする。
    |BC|^2
    =|AC-AB|^2
    =|AC|^2-2(AB・AC)+|AB|^2

    (AB・AC)
    =(|AC|^2+|AB|^2-|BC|^2)/2
    =(9+4-7)/2
    =3

    (1)
    内積
    ↑AB・↑AO=|AB||AO|cos∠BAO=|AB|^2/2=2
    ↑AC・↑AO=|AC||AO|cos∠CAO=|AC|^2/2=9/2

    (2)
    ↑AO=x↑AB+y↑AC
    とする
    AB・AO
    =AB・(xAB+yAC)
    =x|AB|^2+y(AB・AC)
    =4x+3y=2

    AC・AO
    =AC・(xAB+yAC)
    =x(AC・AB)+y|AC|^2
    =3x+9y=9/2

    24x+18y=12
    6x+18y=9
    18x=3
    x=1/6
    2/3+3y=2
    2+9y=6
    9y=4
    y=4/9

    ↑AO=(1/6)↑AB+(4/9)↑AC

    (3)
    ACとBDは平行だから
    t≠0
    BD=tAC
    となるtがあるから
    AD=AB+BD=AB+tAC
    OD=AD-AO=(5/6)AB+(t-4/9)AC
    ODとAOは外接円の半径だから
    |OD|=|AO|だから
    |OD|^2-|AO|^2=0
    =|(5/6)AB+(t-4/9)AC|^2-| (1/6)AB+(4/9)AC|^2=0
    =
    (25/36)|AB|^2+(5/3)(t-4/9)(AB・AC)+(t-4/9)^2|AC|^2
    -(1/36)|AB|^2-(4/27)(AB・AC)-(16/81)|AC|^2
    =
    (25/9)+5(t-4/9)+9(t-4/9)^2-7/3=0
    9t^2-3t=0
    t(3t-1)=0
    t≠0
    3t-1=0
    3t=1
    t=1/3

    ↑AD=↑AB+(1/3)↑AC

    (4)
    Eは直線AO上の点だから
    AE=xAO
    DE=yDC
    となる実数x,yがある
    AO=(1/6)AB+(4/9)AC
    だから
    AE=(x/6)AB+(4x/9)AC
    AD=AB+(1/3)AC
    だから
    DC=AC-AD=AC-AB-(1/3)AC=(2/3)AC-AB
    だから

    DE
    =AE-AD
    =(x/6)AB+(4x/9)AC-AB-(1/3)AC
    =
    {(x/6)-1}AB+{(4x/9)-(1/3)}AC=yDC=y{(2/3)AC-AB}
    だから
    {(x/6)-1+y}AB+{(4x/9)-(1/3)-(2y/3)]AC=0
    だから
    (x/6)-1+y=0
    (4x/9)-(1/3)-(2y/3)=0
    だから
    x-6+6y=0
    4x-6y-3=0
    だから
    5x-9=0
    5x=9
    x=9/5
    3/10-1+y=0
    y=7/10
    だから
    AE=(9/5)AO
    DE=(7/10)DC
    だから
    |DE|/|DC|=7/10
    |DE|/(|DE|+|CE|)=7/10
    10|DE|=7(|DE|+|CE|)
    3|DE|=7|CE|
    3/7=|CE|/|DE|

    CE:DE=3:7
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