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■48354 / 親記事)  ベクトル場の問題
  
□投稿者/ たなお 一般人(1回)-(2017/09/15(Fri) 13:32:16)
http://https://box.yahoo.co.jp/guest/viewer?sid=box-l-fmwliude5yowkad2xybrogsrcy-1001&uniqid=744a30f1-e6b9-465c-94e3-626b12fb7d54
    ベクトル場の問題で質問があります。

    添付画像の大問10と11を解いてみましたが、証明がこれで正しいのか自信がありません。
    証明方法はこれで合ってますでしょうか。また、より良い解き方があればそれも教えていただければとお思います。(ちなみに大問11について、自分の方法だとBy の第一項が何故マイナスにする必要があるのか分かりません。マイナスになるにはそれ相応の理由があるはずだと思うのですが。。)

    自分でやった計算はURLのリンク先にUPしています。

    よろしくおねがいいたします。
1024×768 => 250×187

1505449936.jpeg
/162KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48874 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル場の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/10/27(Sat) 09:29:31)
    10)
    全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇×A=0をとする.
    点P0(x0,y0,z0)を固定し
    φ(x,y,z)=∫_{x0〜x}Ax(x,y,z)dx+∫_{y0〜y}Ay(x0,y,z)dy+∫_{z0〜z}Az(x0,y0,z)dz
    とおけば

    ∇φ
    =(∂φ/∂x,∂φ/∂y,∂φ/∂z)
    =(Ax,Ay,Az)
    =A

    11)
    全空間で定義されたベクトル場A=Axi+Ayj+Azkが∇・A=0を満足しているとする
    点P0(x0,y0,z0)を固定し
    Bx=∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    By=-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
    Bz=0
    とおき,B=Bxi+Byjとすれば
    ∂Bz/∂y-∂By/∂z
    =-∂By/∂z
    =-(∂/∂z){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz}-(∂/∂z)∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx
    =(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz
    =Ax

    ∂Bx/∂z-∂Bz/∂x
    =∂Bx/∂z
    =(∂/∂z)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    =Ay

    ∂By/∂x-∂Bx/∂y
    =(∂/∂x){-∫_{z0〜z}Ax(x,y,z)dz+∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}-(∂/∂y)∫_{z0〜z}Ay(x,y,z)dz
    =(∂/∂x){∫_{x0〜x}Az(x,y,z0)dx}
    =Az

    だから

    ∇×B
    =(∂Bz/∂y-∂By/∂z,∂Bx/∂z-∂Bz/∂x,∂By/∂x-∂Bx/∂y)
    =(Ax,Ay,Az)
    =A

    By の第一項がプラスの場合は
    ∇×B=(-Ax,Ay,Az)≠A
    となるので
    By の第一項はマイナスでなければ∇×B=Aが成立しません
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