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■48009 / 親記事)  代数学の問題
  
□投稿者/ socksman 一般人(1回)-(2017/06/08(Thu) 14:56:50)
    以下の問題が分かりません。

    解説をお願いします。
1080×219 => 250×50

IMG_20170607_230206.jpg
/49KB
引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/
■48514 / ResNo.1)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(5回)-(2018/08/17(Fri) 14:59:57)
    (1)
    Gを位数|G|=4の群
    x∈G
    [x]をxから生成される巡回群
    とする
    [x]はGの部分群だから
    部分群[x]の位数|[x]|は4の約数だから
    (|[x]|=1).or.(|[x]|=2).or.(|[x]|=4)
    |[x]|=4となる[x]がある時
    |[x]|=|G|=4だから[x]=Gとなり
    Gは1元xから生成される巡回群だから
    GはZ/4Zと同型である

    |[x]|=4となるxが無い時
    |[x]|=1の時xは単位元0だから
    x≠0となるすべてのxに対して
    |[x]|=2となる
    G={0,a,b,c}とすると
    |[a]|=|[b]|=|[c]|=2だから
    a+a=b+b=c+c=0
    aの逆元はaだからa+b≠0≠b+a,a+c≠0≠c+a
    b≠0だからa+b≠a≠b+a,b+c≠c≠c+b
    a≠0だからa+b≠b≠b+a,a+c≠c≠c+a
    ∴a+b=c=b+a
    c≠0だからa+c≠a≠c+a,b+c≠b≠c+b
    ∴a+c=b=c+a
    bの逆元はbだからb+c≠0=c+b
    ∴b+c=a=c+b
    0=(0,0)
    a=(1,0)
    b=(0,1)
    c=(1,1)
    とすれば
    a+a=b+b=c+c=0(mod2)
    a+b=b+a=c
    a+c=c+a=b(mod2)
    b+c=c+b=a(mod2)
    だから
    GはZ/2Z×Z/2Zと同型である

    (2)
    {1,(1,2,3,4),(1,3)(2,4),(1,4,3,2)}
    {1,(1,2,4,3),(1,4)(2,3),(1,3,4,2)}
    {1,(1,3,2,4),(1,2)(3,4),(1,4,2,3)}

    (3)
    {1,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
    {1,(1,3),(2,4),(1,3)(2,4)}
    {1,(1,4),(2,3),(1,4)(2,3)}
    {1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)}
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