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■47982 / 親記事)  数列とmod
  
□投稿者/ トランク 一般人(1回)-(2017/05/21(Sun) 20:40:36)
    a[1]=1
    a[2]=-3
    a[3]=6
    a[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n] (n≧1)
    で定められる数列{a[n]}について、次の条件をみたす自然数mは存在するでしょうか?

    条件 どの自然数nに対してもa[n]はmの倍数ではない
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■47983 / ResNo.1)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2017/05/21(Sun) 22:19:44)
    この質問とヨッシーの八方掲示板に質問されている「1の3乗根に関する式 / メロン」ってもしかして関連してますか?

    a[1] = 1
    a[2] = -3
    a[3] = 6
    a[4] = -3*6-3*(-3)+1 = -8
    a[5] = -3*(-8)-3*6+(-3) = 3
    a[6] = -3*3-3*(-8)+6 = 21
    a[7] = -3*21-3*3+(-8) = -80
    上記は、ITさんが「1の3乗根に関する式 / メロン」にコメントされている

    > n=2 のとき 与式/3=C(2,2)(a^2)=a^2
    > n=3 のとき 与式/3=C(3,2)(a^2)(-1)^1=-3a^2
    > n=4 のとき 与式/3=C(4,2)(a^2)(-1)^2=6a^2
    > n=5 のとき 与式/3=C(5,5)(a^5)+C(5,2)(a^2)(-1)^3=2a^2-10a^2=-8a^2
    > n=6 のとき 与式/3=C(6,5)(a^5)(-1)^1+C(6,2)(a^2)(-1)^4=6*2(a^2)(-1)+15(a^2)=(-12+15)a^2=3a^2
    のa^2の係数と全く同じですね!

    実はa = 2^(1/3), g(n) = (a-1)^n+ω(ωa-1)^n+(ω^2)((ω^2)a-1)^nとおくと、
    g(n+3) = -3g(n+2)-3g(n+1)+g(n)という漸化式になるんですよね・・・。

    # 私の考え過ぎ・思い違いだったらごめんなさい。
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■47984 / ResNo.2)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(2回)-(2017/05/21(Sun) 22:39:24)
    流石ですね。気付かれてしまいましたか。
    私はその質問者ではないですが、その質問を見たのがきっかけです。
    そちらで横から聞くのは邪魔になるかと思い、こちらで質問しました。

    メロンさんの質問って、
    (2^(1/3)-1)^n
    を展開した時に、n≧2ならば必ず4^(1/3)の項が現れるか?
    ということと同じですよね?

    別にこう言い換えたことで簡単になるわけではなかったのですが、
    ある問題集に
    (1+4*2^(1/3)-4*4^(1/3))^n
    について同様の問題が載っており、mod 93で考える解法が載っていたので
    今回も似たような方法で出来ないか…?と思って質問したのですが…。

    なにかご存知でしたら是非ご教示ください。
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■47986 / ResNo.3)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2017/05/22(Mon) 01:08:33)
    全然答えにはなっていないですが、
    とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。

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■47987 / ResNo.4)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(3回)-(2017/05/22(Mon) 01:29:34)
    No47986に返信(らすかるさんの記事)
    > 全然答えにはなっていないですが、
    > とりあえずm≦1000000では条件を満たすmは存在しませんでした。
    >

    ひええぇぇ・・・
    この方針では無理そうですね
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■47989 / ResNo.5)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(5回)-(2017/05/22(Mon) 03:25:21)
    でも、もし任意の自然数mに対して、ある自然数nが存在して
    a[n]はmの倍数
    となるのなら、それ自体でちょっと面白い問題ですね
    元の問題からは離れてしまいますが…
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■47990 / ResNo.6)  Re[1]: 数列とmod
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2017/05/22(Mon) 19:03:10)
    「条件を満たす自然数mは存在しない」が証明できました。

    mod mで考えた場合、連続する3項の数の組合せは
    有限通り(m^3通り)ですから、必ず一定の周期でループします。
    そしてa[n+3]=-3a[n+2]-3a[n+1]+a[n]を変形すると
    a[n]=3a[n+1]+3a[n+2]+a[n+3]となり、ある連続する3項から
    必ずその前の項も一意的に決まりますので、
    「先頭のk項(k>0)はループせず、k+1項めからループが始まる」
    ということはあり得ず、先頭からループが始まります。
    従ってa[k]≡a[1],a[k+1]≡a[2],a[k+3]≡a[3](mod m)となるkが
    必ず存在します。
    このとき、a[0]=3a[1]+3a[2]+a[3]=0からa[k-1]≡a[0]≡0(mod m)ですから、
    mの倍数である項a[k-1]が存在します。
    従って条件を満たす自然数mは存在しません。

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■47992 / ResNo.7)  Re[2]: 数列とmod
□投稿者/ トランク 一般人(6回)-(2017/05/22(Mon) 23:22:44)
    2017/05/22(Mon) 23:38:47 編集(投稿者)

    なるほど!
    a[n]の係数1がいやらしい、mが存在しない(≒元の問題が難しくなってる)原因なんですね。

    他の線型回帰数列でも(フィボナッチ数列とか)同様のことが言えるんですね。
    有り難うございます。(って、元の問題がますます手が届かなくなってるのではありますが…)
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