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■47953 / 親記事)  放物線と円
  
□投稿者/ 昼顔 一般人(1回)-(2017/05/10(Wed) 20:42:26)
    aを正の実数とし、xy平面上で
    y≧x^2 かつ (x-a)^2+y^2≦a^2
    をみたす領域の面積をS(a)とする。
    lim[a→∞]S(a)/aを求めよ。

    教えて下さい!!
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■47957 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2017/05/11(Thu) 12:34:28)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 ということは、点(x, y)は中心(a, 0)で半径aの円の周及び内部です。

    (x-a)^2+y^2 ≦ a^2
    ⇒ y^2 ≦ 2ax-x^2
    ⇒ -√(2ax-x^2) ≦ y ≦ √(2ax-x^2)

    もう一つの条件の y ≧ x^2 がありますが、-√(2ax-x^2) ≦ 0 ≦ x^2 なので、
    題意の領域は放物線 y = x^2 と 円 (x-a)^2+y^2 ≦ a^2 で囲まれたものとなります。

    y = x^2 と y^2 = 2ax-x^2 の交点は、x = 0 と 0 < x < 2aの範囲となり、
    x^4 = 2ax-x^2 ⇒ x(x^3+x-2a) = 0 から、0 < x < 2aの範囲の交点のx座標をtとすると、
    t は x^3+x-2a = 0 の根です。

    カルダーノの公式を使えば、x^3+x-2a = 0 の実根は、
    t = {a+√((1/3)^3+a^2)}^(1/3)+{a-√((1/3)^3+a^2)}^(1/3) です。

    S(a) = ∫[0, t]{(√(2ax-x^2))-x^2}dx
    = ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx-[(x^3)/3]_[0, t]
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(t^3)/3
    = ∫[0, t]{√(a^2-(x-a)^2)}dx-(2a-t)/3

    x-a = a*sin(u)と置換すると、uの積分範囲は[-π/2, arcsin((t-a)/a)]で、dx/du = a*cos(u)です。
    計算が煩雑になるので、T = arcsin((t-a)/a)とおきます。-a < t-a < aなので、-π/2 < T < π/2です。
    また、-π/2 ≦ u ≦ T < π/2の範囲で、cos(u) ≧ 0です。
    よって、cos(T) = √{1-sin(T)^2} = √{1-((t-a)/a)^2} = (1/a)√(2at-t^2) = (1/a)√(t(2a-t)) = (1/a)√(t(t^3))) = (1/a)t^2です。

    ∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = ∫[-π/2, T]{a*cos(u)}(a*cos(u))du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{cos(u)^2}du
    = (a^2)∫[-π/2, T]{(1+cos(2u))/2}du
    = (a^2)(1/2)[u+sin(2u)/2]_[-π/2, T]
    = (a^2)(1/2){T+(1/2)sin(2T)-(-π/2)-(1/2)sin(2*(-π/2))}
    = (a^2)(1/2){T+sin(T)cos(T)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+((t-a)/a)((1/a)t^2)+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(t^3-a(t^2))+π/2}
    = (a^2)(1/2){T+(1/(a^2))(2a-t-a(t^2))+π/2}

    ここで、sin(T+π/2) = cos(T) = (1/a)t^2 ですから、T+π/2 = arccos((1/a)t^2) です。
    よって、∫[0, t]{√(2ax-x^2)}dx = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))

    以上から、私が計算間違いしていなければ、
    S(a) = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/2)(2a-t-a(t^2))-(2a-t)/3
    = (a^2)(1/2)arccos((1/a)t^2)+(1/6)(2a-t-3a(t^2))
    となり、
    これに、t = {a+√(1/27+a^2)}^(1/3)+{a-√(1/27+a^2)}^(1/3) を代入して、
    lim[a→∞]{S(a)/a} を計算できるかもしれませんが・・・心が折れました。

    # もっと簡単な方法があるに違いない!
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■47958 / ResNo.2)  Re[1]: 放物線と円
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2017/05/11(Thu) 12:58:15)
    2017/05/11(Thu) 12:59:22 編集(投稿者)

    y=x^2と(x-a)^2+y^2≦a^2の交点を(t,t^2)としてaを求めると
    a=(t^3+t)/2
    条件を満たす領域をy=txで二つに分けて考えると
    y=txと放物線で挟まれる方の面積は
    ∫[0〜t]tx-x^2 dx=t^3/6 なので
    lim[t→∞](t^3/6)/a=1/3
    y=txと円で挟まれる方は
    扇形の中心角をθとするとt=(cosθ+1)/(sinθ)となり
    (扇形)/a=aθ/2=(t^3+t)/2・θ/2=((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ/4
    (二等辺三角形)/a=t^2/2=(cosθ+1)^2/(2(sinθ)^2)
    なので
    lim[a→∞]{(扇形)-(二等辺三角形)}/a
    =lim[θ→+0]{((cosθ+1)^3/(sinθ)^3+(cosθ+1)/(sinθ))θ-2(cosθ+1)^2/(sinθ)^2}/4
    =lim[θ→+0](cosθ+1)^2(θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)
    =1/3
    (∵lim[θ→+0](θ-sinθ)/(2(sinθ)^3)=lim[θ→+0](1-cosθ)/(6cosθ(sinθ)^2)
     =lim[θ→+0]1/(-6(sinθ)^2+12(cosθ)^2)=1/12)
    従って
    lim[a→∞]S(a)/a=1/3+1/3=2/3

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■47969 / ResNo.3)  Re[2]: 放物線と円
□投稿者/ 昼顔 一般人(2回)-(2017/05/14(Sun) 20:12:06)
    お二人ともありがとうございます!
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