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■47892 / 親記事)  等比数列の問題です
  
□投稿者/ ふくろう 一般人(1回)-(2017/03/05(Sun) 19:33:41)
    問題:鋭角Θをなす半直線OX、OY上にそれぞれ点列A1、A2、A3、・・・・・・、およびB1、B2、B3、・・・・・を次の条件(1)、(2)、(3)を満たすようにとる。
    (1) OA1=OB1=1
    (2) 線分B1A2、B2A3、B3A4、・・・・・・・・、BnAn+1、・・・・・・・・・はすべてOX上に垂直
    (3) 線分A1B1、A2B2、A3B3、・・・・・・・・、AnBn、・・・・・・・・、は互いに平行
    このとき△AnBnAn+1の面積をSnとすると、Σ(n=1から∞)=1/3である。tanΘの値を求めよ。
    丸一日考えましたが解けません。どなたかわかりやすく教えてください。
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■47894 / ResNo.1)  Re[1]: 等比数列の問題です
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2017/03/05(Sun) 19:59:34)
    △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]=1:cosθ なので
    Σ[n=1〜∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
    ∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    これより tanθ=12/5

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■47900 / ResNo.2)  Re[2]: 等比数列の問題です
□投稿者/ ふくろう 一般人(2回)-(2017/03/06(Mon) 09:56:32)
    No47894に返信(らすかるさんの記事)
    > △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]=1:cosθ なので
    > Σ[n=1〜∞]S[n]=△OA[1]B[1]/(1+cosθ)
    > ∴(sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    > これより tanθ=12/5
    >

    これだけではよく分かりません。私が不勉強だと重々承知しております。
    もう少し具体的に細かく説明をいただけませんか。
    ご多用のところ申し訳ありません。
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■47901 / ResNo.3)  Re[3]: 等比数列の問題です
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2017/03/06(Mon) 10:40:45)
    OB[n]cosθ=OA[n+1] なので OB[n]:OA[n+1]=1:cosθ
    △OA[n]B[n]∽△OA[n+1]B[n+1] なので A[n]B[n]:A[n+1]B[n+1]=1:cosθ
    A[n]B[n]とA[n+1]B[n+1]の間隔をH[n]とすると
    △A[n]B[n]A[n+1]:△B[n]A[n+1]B[n+1]
    =A[n]B[n]H[n]/2:A[n+1]B[n+1]H[n]/2
    =A[n]B[n]:A[n+1]B[n+1]
    =1:cosθ

    これより
    △A[n]B[n]A[n+1]={1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    なので
    Σ[n=1〜∞]S[n]
    =Σ[n=1〜∞]△A[n]B[n]A[n+1]
    =Σ[n=1〜∞]{1/(1+cosθ)}・(台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    ={1/(1+cosθ)}Σ[n=1〜∞](台形A[n]B[n]B[n+1]A[n+1]の面積)
    ={1/(1+cosθ)}△OA[1]B[1]

    Σ[n=1〜∞]S[n]=1/3, △OA[1]B[1]=OA[1]・OB[1]・sinθ/2=sinθ/2 なので
    (sinθ/2)/(1+cosθ)=1/3
    sinθ/2=(1+cosθ)/3
    3sinθ=2(1+cosθ)
    (3sinθ)^2={2(1+cosθ)}^2
    9(sinθ)^2=4(1+cosθ)^2
    9{1-(cosθ)^2}=4{1+2cosθ+(cosθ)^2}
    13(cosθ)^2+8cosθ-5=0
    (13cosθ-5)(cosθ+1)=0
    cosθ=5/13,-1
    θは鋭角なので
    cosθ=5/13
    (tanθ)^2=1/(cosθ)^2-1=144/25=(12/5)^2
    θは鋭角なので
    tanθ=12/5

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■47902 / ResNo.4)  Re[4]: 等比数列の問題です
□投稿者/ ・スモゑソス・ス・、 一般人(1回)-(2017/03/06(Mon) 16:02:14)
    問題が解けました。有難うございました。
    感謝 感謝です。
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