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■47712 / 親記事)  極限の計算 定数乗? について教えてください。
  
□投稿者/ トーテム 一般人(1回)-(2016/07/15(Fri) 11:56:44)
    次の問題の解答を見た時、極限の使い方に疑問を覚え質問をさせていただきました。

    α、βは定数とする。
    極限
    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}/{(1^β+2^β+・・・+n^β)^(α+1)}

    解答

    分子、分母を n^(α+1)(β+1)で割れば

    分子は
    {(1^α+2^α+・・・+n^α)/n^(α+1)}^(β+1)
    となり
    { }の中の極限は1/(α+1) @
    したがって分子の極限は
    1/(α+1)^(β+1) A

    ・・・ 続く

    以上が問題と解答の一部です。

    お伺いしたいのは、@からAへとなるときの^(β+1)の扱いなどについてです。
    累乗の部分の扱いといえばよいのでしょうか、自分でも上手く言葉にできないのですが、

    lim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)} B
    を求めるときに

    lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α) C
    の極限がわかれば、(Cの極限)^(β+1)がBの極限である。ただ(β+1)乗をつければ良いということがよくわからないでいます。

    またBでlim[n→∞]{(1^α+2^α+・・・+n^α)^(β+1)}
    となっているのを
    {lim[n→∞](1^α+2^α+・・・+n^α)}^(β+1) と考えるようなものだと思うのですが
    lim[n→∞]{ } の{ } の範囲、limの及ぼす範囲などがよくわからなくなってしまいました。

    参考書などで、極限の性質(公式)など調べたのですが、定数倍や、和、積、商などの性質については載っていたのですが、上記のようなことの記述を見つけること、気がつくことができませんでした。

    (@を区分求積法をつかって求めることは理解しているつもりです。)
    この問題は高校レベル(だと思います)の参考書からです。
    基本的なことかもしれませんが、詳しく教えていただけるとありがたいです。
    よろしくお願いいたします。
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■47713 / ResNo.1)  Re[1]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2016/07/15(Fri) 16:16:40)
    何が疑問なのかよくわかりませんが、関連のことを書いてみます。

    lim[n→∞]a[n]=A, lim[n→∞]b[n]=B のとき
    lim[n→∞](a[n]×b[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]b[n])=AB
    なので
    lim[n→∞](a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A
    つまり書き方を変えれば
    lim[n→∞](a[n])^2=(lim[n→∞]a[n])^2=A^2
    同様に
    lim[n→∞](a[n]×a[n]×a[n])=(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])×(lim[n→∞]a[n])=A×A×A
    つまり
    lim[n→∞](a[n])^3=(lim[n→∞]a[n])^3=A^3

    また
    lim[n→∞]√a[n]=√lim[n→∞]a[n]=√A
    すなわち
    lim[n→∞]{a[n]^(1/2)}=(lim[n→∞]a[n])^(1/2)=A^(1/2)

    などが成り立ちます。

    一般には、f(x)が連続のとき
    lim[n→∞]f(a[n])=f(lim[n→∞]a[n])
    です。

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■47714 / ResNo.2)  Re[2]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(2回)-(2016/07/15(Fri) 16:47:15)
    らすかる様
    御回答ありがとうございました。

    詳しく記述いただきまして大変勉強になりました。しばらく悩んでいたので本当に助かりました。
    自分でもうまく言葉にできず、分かりずらい質問内容となってしまって申し訳ありませんでした。
    教えていただいたことで内容こそ私が求めていたものだと思います。
    また、確認させていただきたいのですが、下記の問題で教えていただいたことを使用できると考えたのですが、いかがでしょうか?

    双曲線x^2-y^2=1の上の2つの点P(1,0),Q(u,v)を結ぶ直線PQが漸近線y=xと交わる点をRとする。ただし、点Qは双曲線上の第1象限の部分にある。
    u→∞のとき、QRの長さはどんな値に近づくか?

    解答

    lim[u→+∞]QR^2 = lim[u→+∞] 2(u^2-u)/{u+√(u^2-1)-1} = 式変形省略 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    以上が問題と解答になります。

    lim[u→+∞]QR^2 = 1/2 @
    ゆえに
    lim[u→+∞]QR =1/√2 A

    という箇所ですが、教えていただいたことを使えば@からAが導ける。という理解でよろしいでしょうか。
    よろしくお願いいたします。
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■47715 / ResNo.3)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2016/07/15(Fri) 16:50:53)
    はい、仰る通り、@からAが導けます。
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■47716 / ResNo.4)  Re[3]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(3回)-(2016/07/15(Fri) 17:08:13)
    追記
    記述し忘れました。

    @からAは

    lim[x→a]f(x)・f(x)=α・α
    だから

    lim[u→+∞]QR^2=1/2

    α^2=1/2 と考えて
    QR=±√(1/2)
    QR>0より
    lim[u→+∞]QR=1/√2
    として良いのでしょうか?
    よろしくお願いいたします。
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■47717 / ResNo.5)  Re[4]: 極限の計算 定数乗? について教えてください。
□投稿者/ トーテム 一般人(4回)-(2016/07/15(Fri) 17:56:31)
    御回答ありがとうございます。
    一つ前の返信(追記のもの)を投稿する時に、らすかる様のご返信に気がつくことができず、投稿してしまいました。大変失礼いたしました。

    御回答いただき、自分の考えに確信が持てました。今回は御回答いただき本当にありがとうございました。また掲示板は不慣れなため、失礼をしてしまい本当に申し訳ありませんでした。

    もしまた機会がありましたらよろしくお願いいたします。
    今回はありがとうございました。

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