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■47640 / 親記事)  数学的帰納法
  
□投稿者/ N 一般人(1回)-(2016/04/21(Thu) 19:23:40)
    正の数a,b,x,yを考える。a+b=1ならば、すべての自然数nにたいして不等式
    (ax+by)^n≦ax^n+by^nが成り立つことを証明せよ

    証明の方法がいまいちわからないので教えてください
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■47641 / ResNo.1)  Re[1]: 数学的帰納法
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2016/04/21(Thu) 19:55:14)
    補題
    任意の正の数x,yと自然数kに対して
    {x^(k+1)+y^(k+1)}-(x^ky+xy^k)
    =(x^k-y^k)(x-y)
    =(x-y)^2・Σ[i=0〜k-1]{x^i・y^(k-1-i)}
    ≧0 なので
    x^(k+1)+y^(k+1)≧x^ky+xy^k

    本題
    n=1のとき明らかに成り立つ。
    n=kのとき成り立つとすると
    (ax+by)^k≦ax^k+by^k … (1)
    n=k+1のとき
    (ax+by)^(k+1)=(ax+by)^k・(ax+by)
    ≦(ax^k+by^k)(ax+by) (∵(1)より)
    =a^2x^(k+1)+b^2y^(k+1)+ab(x^ky+xy^k)
    ≦a^2x^(k+1)+b^2y^(k+1)+ab{x^(k+1)+y^(k+1)} (∵補題より)
    =a(a+b)x^(k+1)+b(a+b)y^(k+1)
    =ax^(k+1)+by^(k+1)
    となり成り立つ。

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■47642 / ResNo.2)  Re[2]: 数学的帰納法
□投稿者/ N 一般人(2回)-(2016/04/21(Thu) 20:20:20)
    回答ありがとうございました

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