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■47565 / 親記事)  下限についての命題
  
□投稿者/ よしこ 一般人(1回)-(2016/02/12(Fri) 00:10:41)
    複素平面CにてC⊃A,BはA∩B=φな閉集合とする。
    A,Bで少なくとも片方が有界な時, inf{|x-y|;x∈A,y∈B}>0となる事はどうすれば示せますでしょうか?
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■47566 / ResNo.1)  Re[1]: 下限についての命題
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2016/02/12(Fri) 22:03:43)
    2016/02/13(Sat) 07:55:56 編集(投稿者)

    (略解)
    x∈A,y∈Bについて d(x,y)=|x-y|
    d(A,B)=inf{d(x,y);x∈A,y∈B}とおきます。
    Aが有界なときを考えます。(Bが有界なときも同様)
    実数r>0があって、Aは原点のr近傍に含まれます。

    B'={z∈C;|z|≦r+1}∩B とおく
    B'=φのとき 命題は成立。
    B'≠φのとき B'は有界閉集合で d(A,B)=d(A,B')
     以下Bは有界閉集合と考える(B'としてもいいが表記が煩雑なので)

    有界閉集合上の連続関数は最小値をとることを利用する。

    一点y∈Bをとると d(x,y)はx∈Aについて連続で、Aは有界閉集合なので
     d(A,y)=d(x,y)となるx∈Aが存在
    したがって,d(A,B)≦inf{d(A,y);y∈B}…(1)
    また,ε>0に対して,d(x',y')≦d(A,B)+εとなるx'∈A,y'∈Bが存在し
     d(x',y')≧d(A,y')≧inf{d(A,y);y∈B}
    よって inf{d(A,y);y∈B}≦d(A,B)+ε…(2)
    (1),(2)より,d(A,B)=inf{d(A,y);y∈B}

    d(A,y)はyについて連続であることを示す(証明略)

    Bは有界閉集合なので,d(A,B)=d(x,y)となるx∈A,y∈Bが存在する
    A∩B=φなのでd(x,y)>0
    よってd(A,B)>0
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■47568 / ResNo.2)  Re[2]: 下限についての命題
□投稿者/ よしこ 一般人(2回)-(2016/02/17(Wed) 12:58:09)
    ご説明大変参考になります。

    ところで,d(A,y)の定義は何なのでしょうか?
    d(A,y):=inf{|x-y|;x∈A}ではないのでしょうか?
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■47569 / ResNo.3)  Re[3]: 下限についての命題
□投稿者/ IT 一般人(2回)-(2016/02/17(Wed) 19:00:43)
    > ところで,d(A,y)の定義は何なのでしょうか?
    > d(A,y):=inf{|x-y|;x∈A}ではないのでしょうか?

    そうですね。
    d(A,y)=d(A,{y})=inf{d(x,y);x∈A} と考えるとd(A,B)の定義に含まれているということになると思います。
    なお、=min{d(x,y);x∈A} となります。
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■47570 / ResNo.4)  Re[4]: 下限についての命題
□投稿者/ よしこ 一般人(3回)-(2016/02/18(Thu) 06:00:43)
    > d(A,y)=d(A,{y})=inf{d(x,y);x∈A} と考えるとd(A,B

    そうしますと,

    > したがって,d(A,B)≦inf{d(A,y);y∈B}…(1)

    は自動的にd(A,B)=inf{d(A,y);y∈B}…(1)となってしまいますよね?
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■47571 / ResNo.5)  Re[4]: 下限についての命題
□投稿者/ よしこ 一般人(4回)-(2016/02/18(Thu) 22:48:47)
    たびたびすみません。

    > A∩B=φなのでd(x,y)>0

    =φなら>0はどうして言えるのでしょうか?

    ちょっとジャンプしずきな気がするのですが。。

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■47572 / ResNo.6)  Re[5]: 下限についての命題
□投稿者/ IT 一般人(3回)-(2016/02/19(Fri) 07:30:01)
    飛躍しすぎというほどではないと思いますが、ていねいに書くなら

    d(A,B)=d(x,y)となるx∈A,y∈Bが存在する
     A∩B=φなので x≠y,よって |x-y|>0 すなわちd(x,y)>0

    でどうでしょう。

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■47578 / ResNo.7)  Re[6]: 下限についての命題
□投稿者/ よしこ 一般人(6回)-(2016/03/02(Wed) 00:12:06)
    遅くなりまして大変申し訳ありません。

    納得できました!! どうも有難うございます。m(_ _)m
解決済み!
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■47614 / ResNo.8)  Re[7]: 下限についての命題
□投稿者/ コピー 一般人(2回)-(2016/04/02(Sat) 21:42:18)
    No47578に返信(よしこさんの記事)
    > 遅くなりまして大変申し訳ありません。
    >
    > 納得できました!! どうも有難うございます。m(_ _)m
    コピー http://www.poo111.com/
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