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■47517 / 親記事)  曲線の長さ?
  
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2015/10/12(Mon) 11:44:43)
    ご教授下さい。
    直交座標平面において、放物線(の一部)
     x^(1/2)+y^(1/2)=1
    の曲線の長さを求めたいのですが、どうすればよろしいのでしょうか?
    よろしくお願いします。
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■47526 / ResNo.1)  Re[1]: 曲線の長さ?
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2015/11/01(Sun) 19:36:06)
    2015/11/01(Sun) 19:38:05 編集(投稿者)

    原点中心でπ/4の回転移動により
    問題の曲線上の点(x,y)が点(X,Y)に
    移動したとすると、回転移動の
    行列を使うことにより
    x=X/√2+Y/√2
    y=-X/√2+Y/√2
    これを問題の曲線の方程式に代入して
    √(X/√2+Y/√2)+√(-X/√2+Y/√2)=1
    これより
    -X/√2+Y/√2={1-√(X/√2+Y/√2)}^2
    -X/√2+Y/√2=1-2√(X/√2+Y/√2)+(X/√2+Y/√2)
    0=1-2√(X/√2+Y/√2)+X√2
    2√(X/√2+Y/√2)=1+X√2
    4(X/√2+Y/√2)=(1+X√2)^2
    2X√2+2Y√2=1+2X√2+2X^2
    2Y√2=1+2X^2
    Y=(1/√2)X^2+1/(2√2)
    よって上記の回転移動により、問題の曲線は
    放物線
    y=(1/√2)x^2+1/(2√2) (A)
    (-1/√2≦x≦1/√2)
    に移ります。
    (A)より
    y'=x√2
    よって求める曲線の長さは
    ∫[-1/√2→1/√2]√{1+(x√2)^2}dx
    =2∫[0→1/√2]√(1+2x^2)dx
    =…
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