数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■47482 / 親記事)  行列の正値性の証明
  
□投稿者/ Keiko 一般人(1回)-(2015/08/29(Sat) 00:26:16)
    3×3正値エルミート行列A=:(a_ij),B=:(b_ij)について,
    a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32>0となる事を示す問題です。

    どなたか証明をお願い致します。
    a32~はa32の共役複素数の意味です。

    a22b33-a32~b32+b22a33-b32~a32
    =Re(a22)Re(b33)+Re(b22)Re(a33)-2(Re(a32)Re(b32)+Im(a32)Im(b32))
    となると思いますがここから先に進めません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47484 / ResNo.1)  Re[1]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ ひよこ 一般人(2回)-(2015/09/03(Thu) 00:01:13)
    ちょっと間接的な方法ですが。

    の右下の二次正方行列を, の右下の二次正方行列をと書きます。
    仮定より、, は正値エルミート行列となります。

    示すのは、

    ですよね?(私が勘違いしていなければ)

    さて、左辺は、の固有値の積から、の固有値の積との固有値の積を引いたものですが、固有値というのは、座標に依存しない量ですので、座標変換して考えてもかまいません。

    さらに、適当な座標変換をすれば、は対角行列としてかまいません(エルミート行列はユニタリ行列によって対角化できる)。

    結局、示すべきは、

    となります。
    ここで、, は正値エルミート行列でしたので、対角成分はつねに正ですから、この不等式は満たされています。

    おしまい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47489 / ResNo.2)  Re[2]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(2回)-(2015/09/05(Sat) 12:35:25)
    なるほど納得です。どうも有難うございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47491 / ResNo.3)  Re[3]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(3回)-(2015/09/07(Mon) 10:32:33)
    まことに申し訳ありません。

    もう一つ質問なのですが

    A,Bは2×2正値エルミート行列とします。(A+B)~ijは行列A+Bのi,j成分に対する余因子を表すものとします。
    d_ij:=(A+B)~ij-A~ij-B~ijと定義すると,

    余因子行列,
    d_11,d_12
    d_21,d_22
    (これはエルミート行列になる事は直ぐに分かる)
    が正値になる事を示すにはどうすればいいでしょうか?

    d_21=\bar{d_12},d_11>0,d_22>0になる事は分かったのですがそこからが。。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47494 / ResNo.4)  Re[4]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ ひよこ 一般人(3回)-(2015/09/08(Tue) 15:57:54)
    ちょっとわかりません。

    行列の余因子行列をと表す。
    この書き方で、d_ijを並べたものは、

    のことですか?

    が二次正方行列なら、

    なので、d_ij=0となると思うのですが。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47495 / ResNo.5)  Re[5]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(4回)-(2015/09/10(Thu) 05:04:35)
    2015/09/10(Thu) 06:58:09 編集(投稿者)
    2015/09/10(Thu) 06:56:31 編集(投稿者)
    2015/09/10(Thu) 06:30:51 編集(投稿者)

    cof(A+B)-cof(A)-cof(B)=Oは仰る通りでした。失礼いたしました。

    そもそも,n-1個のn×n正値エルミート行列A_1,A_2,…,A_{n-1}に於いて,
    記号A_1(i|j)はA_1からi行目とj列目を取り除いてできる(n-1)×(n-1)行列の意味でそれは(n-1)×(n-1)正値エルミート行列となる。

    そして,
    d_ij:=1/(n-1)!Σ_[k=0..n-2](-1)^kΣ_[{m_1,m_2,…,m_{(n-1)-k}}⊂{1,2,…,n-1}]det(A_{m_1}(i|j),A_{m_2}(i|j),…,A_{m_{(n-1)-k}(i|j)})
    とおいた時,d_ij=d_ji~,d_ii>0となる事も分かる。

    この時,

    D_n:=
    d_11,d_21~,…,d_n1~
    d_21,d_22,…, d_n2~
    : : :
    d_n1,d_n2,…,d_nn

    も正値エルミール行列になる事を示してます。

    そもそもn=3の時,
    D_3≠cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)でした(^_^;)
    D_3の各成分の符号は正で一定ですがcof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)では(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)成分では負になるのでした。
    D_3=cof(A_1+A_2)-cof(A_1)-cof(A_2)だとばっかり思い込んでおりました。

    兎に角,D_nが正値である事はどのように証明できますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47496 / ResNo.6)  Re[6]: 行列の正値性の証明
□投稿者/ Keiko 一般人(5回)-(2015/09/10(Thu) 06:48:12)
    2015/09/10(Thu) 06:49:51 編集(投稿者)

    参考として
902×164 => 250×45

1441835292.jpg
/48KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター