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■47437 / 親記事)  級数
  
□投稿者/ 晃 一般人(1回)-(2015/08/09(Sun) 09:10:43)
    正項級数Σa_nが収束すると仮定します。
    このとき、収束する正項級数Σb_nで、
    lim[n→∞]b_n/a_n=∞
    をみたすものが存在しますか?
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■47439 / ResNo.1)  Re[1]: 級数
□投稿者/ らすかる 大御所(365回)-(2015/08/09(Sun) 10:52:36)
    例えばa[n]=1/n^4, b[n]=1/n^2ならば
    Σa[n]=π^4/90, Σb[n]=π^2/6, lim[n→∞]b[n]/a[n]=∞
    となります。
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■47441 / ResNo.2)  Re[2]: 級数
□投稿者/ 晃 一般人(3回)-(2015/08/09(Sun) 10:59:03)
    すみません、聞きたいのは
    どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか?
    ということでした。
    分かりにくくてすみません…。
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■47444 / ResNo.3)  Re[3]: 級数
□投稿者/ らすかる 大御所(367回)-(2015/08/09(Sun) 15:34:35)
    「収束が最も遅い正項級数」が存在するか?
    ということでしょうか。
    難しいですね。存在しないような気がします
    (つまりΣb[n]は必ず存在する気がします)が、
    私には証明できそうにありません。
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■47457 / ResNo.4)  Re[2]: 級数
□投稿者/ at 一般人(1回)-(2015/08/11(Tue) 07:00:53)
    >どのようなΣa_nについても、そのようなΣb_nが存在するだろうか?
    >ということでした。


    はい。どのようなΣa_nに対しても、そのようなΣb_nが必ず存在します。
    つまり、収束する任意の正項級数Σa_nに対して、
    lim[n→∞]b_n/a_n=∞ を満たすような収束する正項級数Σb_nが存在します。

    s_n = a_1 + a_2 + .. + a_n,
    s = lim[n→∞]s_n
    とします。
    数列 {M_n} を次で定義します。
    1/M_1 = s, 1/M_(n+1) = s - s_n.
    このとき、{M_n}は単調増加であって、lim[n→∞]M_n = ∞ です。
    b_n = a_n * (M_n)^(1/2) とすれば、
    lim[n→∞]b_n/a_n = ∞ かつ Σb_n は収束 となります。

    Σb_n が収束することは次のように示せます。
    b_n = a_n * (M_n)^(1/2) = (M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2))
    と書き表せます。
    一般に、正数α(≠1)と正整数 m,n (m < n) に対して、
    (1-α^m)/m > (1-α^n)/n
    が成り立ちます。
    α^n=c, m/n=k とおくと、
    (1-c^k) > k*(1-c)
    となります。ここで、
    c = M_n/M_(n+1), m = 1, n = 2 とすることによって、
    1-(M_n/M_(n+1))^(1/2) > (1/2)*(1-M_n/M_(n+1)),
    つまり、(M_(n+1)-M_n )/(M_(n+1)*(M_n)^(1/2)) < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2))
    となります。
    これは、b_n < 2*((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) を意味します。
    したがって、
    Σb_n < 2*Σ((1/M_n)^(1/2)-(1/M_(n+1))^(1/2)) = 2*(1/M_1)^(1/2).
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