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■47202 / 親記事)  不等式
  
□投稿者/ 髪の毛 一般人(1回)-(2015/05/14(Thu) 20:46:55)
    自然数nと実数a,b,cが
    a^n+b^n+c^n=0
    を満たすとき、
    ab+bc+ca≦0
    が成り立ちますか?
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■47205 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ IT 一般人(4回)-(2015/05/14(Thu) 22:48:16)
    2015/05/16(Sat) 12:39:23 編集(投稿者)

    a^n+b^n+c^n=0…(1)
    成り立つと思います。
    nが偶数のときは簡単
    nが奇数のとき
     abc=0の場合は簡単
     abc≠0のとき
     a≧b≧cとしても一般性を失わない
     a,b,cの3つとも正負が同じだと(1)を満たさないので下記2つの場合がある
     a≧b>0>cのとき
      (1)よりc<-a ※1 すなわちa+c<0
      また ca<0
      よって ab+bc+ca=b(a+c)+ca<b(a+c)<0
     a>0>b≧cのとき
      (1)よりa>-c ※2 すなわちa+c>0
      また ca<0
      よって ab+bc+ca=b(a+c)+ca<b(a+c)<0

     ※1 a^n+b^n=-c^n=(-c)^n、よってa^n<(-c)^n、よってa<-c
     ※2 a^n=-b^n-c^n=(-b)^n+(-c)^n よってa^n>(-c)^n よってa>-c
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■47206 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ 髪の毛 一般人(2回)-(2015/05/15(Fri) 21:16:41)
    成り立つんですね
    有難うございました
解決済み!
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