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■46889 / 親記事)  角谷・コラッツ
  
□投稿者/ CEGIPO 一般人(12回)-(2015/02/24(Tue) 08:30:57)
    2015/02/24(Tue) 11:46:59 編集(投稿者)
    2015/02/24(Tue) 11:46:40 編集(投稿者)

    (既出だったらごめんなさい)

    角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
    次のような興味深い性質を見つけました。

    以下で、角谷数列を

    例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
    ⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1

    のように表記するものとします。
    ここで、
    ⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
    →は左辺が偶数なので2で割る操作とします。

    この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表示することにすると、
    次の性質が成り立つように見受けられます。

    f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
    f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
    f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
    f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
    f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
    ...

    例)
    f(7)=f(15)
    f(31)=f(63)
    ...
    f(11)=f(23)
    f(47)=f(95)
    ...
    f(9)=f(19)
    f(39)=f(79)
    ...
    f(27)=f(55)
    f(111)=f(223)
    ...
    f(17)=f(35)
    f(71)=f(143)
    ...

    これらは証明可能でしょうか?
    数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
    という箇所がありそうに思えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■46894 / ResNo.1)  Re[1]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ みずき 一般人(43回)-(2015/02/24(Tue) 20:59:19)
    正しいと思います。

    kを正の整数とするとき
    f((4k-3)・2^(2n-1)-1)=f((4k-3)・2^(2n)-1)
    が成り立つことを示します。

    (4k-3)・2^(2n-1)-1
    ⇒3(4k-3)・2^(2n-1)-2
    →3(4k-3)・2^(2n-2)-1
    ⇒3^2・(4k-3)・2^(2n-2)-2
    →3^2・(4k-3)・2^(2n-3)-1
    ⇒3^3・(4k-3)・2^(2n-3)-2
    →3^3・(4k-3)・2^(2n-4)-1
    ・・・
    →3^(2n-1)・(4k-3)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n-1個]
    →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]
    ⇒{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [ここまでに⇒は2n個]

    一方、
    (4k-3)・2^(2n)-1
    ⇒3(4k-3)・2^(2n)-2
    →3(4k-3)・2^(2n-1)-1
    ⇒3^2・(4k-3)・2^(2n-1)-2
    →3^2・(4k-3)・2^(2n-2)-1
    ⇒3^3・(4k-3)・2^(2n-2)-2
    →3^3・(4k-3)・2^(2n-3)-1
    ・・・
    →3^(2n)・(4k-3)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
    →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数]

    以上により、任意の正整数kに対して
    f((4k-3)・2^(2n-1)-1)=f((4k-3)・2^(2n)-1)
    が成り立つことが示されました。

    # f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
    # が成り立つことも同様に示せると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■46897 / ResNo.2)  Re[2]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(14回)-(2015/02/27(Fri) 15:10:49)
    返信遅くなりました。みずきさん、回答ありがとうございます。

    みずきさんの回答で

    →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    ...と
    →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]

    の箇所がすぐにわからなかったので自分で補題を考えてみました。

    あ)
    {3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2
    ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n-1)・3^1-1}/2
    ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n)-1}/2

    3^(2n)+1≡2(mod.4)を数学的帰納法で示します。

    n=1の時3^(2・1)+1=10≡2(mod.4)で明らか

    次に
    n=kの時3^(2k)+1≡2(mod.4)が成立していたとすると

    3^(2(k+1))+1=9{3^(2k)}+1=9{3^(2k)+1}-8≡9*2-8≡2(mod.4)
    よって成り立つ。

    い)
    {3^(2n)・(4k-3)-1}/2
    ={3^(2n)・(4k)-3^(2n)・3^1-1}/2
    ={3^(2n)・(4k)-3^(2n+1)-1}/2

    3^(2n+1)+1≡0(mod.4)を数学的帰納法で示します。

    n=1の時3^(2・1+1)+1=28≡0(mod.4)で明らか

    次に
    n=kの時3^(2k+1)+1≡0(mod.4)が成立していたとすると

    3^(2(k+1)+1)+1=9{3^(2k+1)}+1=9{3^(2k+1)+1}-8=9*0-8≡0(mod.4)
    よって成り立つ。

    従って、[A1]、[B1]の表現(奇数、偶数)が共に成り立つことがわかりました。

    (もっと簡単に示す方法もありますか?何か定理があるとか?)



    ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します(手抜きですみません)
    # f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
    # が成り立つことも同様に示せると思います。...の補足証明

    kを正の整数とするとき
    f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
    が成り立つことを示します。

    (4k-1)・2^(2n)-1
    ⇒3(4k-1)・2^(2n)-2
    →3(4k-1)・2^(2n-1)-1
    ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-2
    →3^2・(4k-1)・2^(2n-2)-1
    ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-2
    →3^3・(4k-1)・2^(2n-3)-1
    ・・・
    →3^(2n)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
    →{3^(2n)・(4k-1)-1}/2 [これは奇数]
    ⇒{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2[これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] ...[C1]

    一方、
    (4k-1)・2^(2n+1)-1
    ⇒3(4k-1)・2^(2n+1)-2
    →3(4k-1)・2^(2n)-1
    ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n)-2
    →3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-1
    ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-1)-2
    →3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-1
    ・・・
    →3^(2n+1)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n+1個]
    →{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2 [これは偶数]...[D1]

    [C1]と[D1]の式が同型でそこに至るまでに現れる⇒の数も同じ

    ということでよいでしょうか?読みにくくてすみません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■46900 / ResNo.3)  Re[3]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ みずき 一般人(44回)-(2015/02/27(Fri) 18:41:13)
    No46897に返信(CEGIPOさんの記事)

    > →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    > →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
    > (もっと簡単に示す方法もありますか?)

    あります。以下、合同式の法を4とします。

    [A1]について:3^(2n-1)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n-1)・(-3)-1≡3-1≡2
    [B1]について:3^(2n)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n)・(-3)-1≡-3-1≡0

    > ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します
    (略)
    > ということでよいでしょうか?

    良いと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■46902 / ResNo.4)  Re[4]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(15回)-(2015/02/28(Sat) 06:36:29)
    なる程、よくわかりました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47497 / ResNo.5)  Re[5]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(1回)-(2015/09/11(Fri) 05:22:54)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47510 / ResNo.6)  Re[6]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(2回)-(2015/10/07(Wed) 18:27:29)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47518 / ResNo.7)  Re[7]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ 成清 愼 一般人(6回)-(2015/10/12(Mon) 21:11:39)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



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