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■45411 / 親記事)  n番目の有理数を求める公式とは?
  
□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/07/06(Sat) 11:00:53)
    有理数全体の集合が可算である事を知る為に,n番目の有理数を求める公式を探しています(自分でもトライしてみたのですが,
    1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
    約分できる分数をカウントしないようにするのはどうすればいいのか分りません。

    どなたか
    n番目の有理数を求める公式が載ってるサイトをご存知でしたらお教え下さい。
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■45417 / ResNo.1)  Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ WIZ 付き人(52回)-(2013/07/07(Sun) 08:06:22)
    ご質問の答えではないですが、自分でもトライされているという部分にコメントします。
    > 1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
    上記だと、区間(0,1]に含まれる有理数のみを並べているように見えます。
    なので、有理数全体ならば別の並べ方を考える必要があると思います。
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■45424 / ResNo.2)  Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ Dom 一般人(2回)-(2013/07/08(Mon) 06:32:44)
    そうでした。

    1,2,1/2,3,3/2,4,4/3,[4/2],5,5/4,5/3,5/2,6,6/5,[6/4],[6/3],[6/2],7,…
    でしたね。

    でもこれから一体どうすれば,,くじけそうです。
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■45426 / ResNo.3)  Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ WIZ 付き人(55回)-(2013/07/08(Mon) 13:11:43)
    > 1,2,1/2,3,3/2,4,4/3,[4/2],5,5/4,5/3,5/2,6,6/5,[6/4],[6/3],[6/2],7,…
    正の有理数全体を並べようとしているとしても、これも違うと思いますよ。
    分子を1ずつ増やしながら、分母を1から分子-1まで増やしているようですが、この規則だと1/3や1/4は出てきませんよね?
    やはり「有理数 - Wikipedia」のホームページに載っているような順序にする必要があるように思います。

    分子・分母が互いに素なもののみカウントしたいのなら、オイラーのφ関数(オイラーのトーシェント関数)
    というものを調べたら参考になるかもしれません。
    もっとも簡単にn番目の有理数を求める公式が見つかるとは思いませんが・・・。
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■45427 / ResNo.4)  Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ Dom 一般人(3回)-(2013/07/08(Mon) 23:17:16)
    ご情報有難うございます。とても参考になっております。

    > もっとも簡単にn番目の有理数を求める公式が見つかるとは思いませんが・・・。

    え゛っ!? そうなんですか!????
    ではもしかしたら,有理数は可算じゃないかもしれないんですね!?
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■45429 / ResNo.5)  Re[3]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ らすかる 付き人(82回)-(2013/07/08(Mon) 23:28:08)
    たとえn番目の有理数を求める公式が見つからなくても、
    有理数は可算個です。
    可算個だからといって公式が作れるとは限りません。
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■45430 / ResNo.6)  Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ WIZ 付き人(56回)-(2013/07/09(Tue) 11:29:00)
    有理数は可算です。実は有理数を真部分集合として含むもっと大きい(?)無限集合で可算であるものも存在します。
    有理数とは整数と整数の比で表せる実数ですが、これは言い方を変えれば整数係数の1次方程式の解となる数ということです。
    そこで2次以上の代数方程式(整数係数で、係数の最大公約数が1で、整式として既約とか幾つかの条件が付きますが)
    の解となる数も含めた代数的数というのを考えると、これも可算無限であることが知られています。

    おそらく、スレ主さんは実数全体が可算無限より真に大きい濃度を持つ無限集合であることもご存じだと思います。
    整数係数の代数方程式の解になり得ない数を超越数と言います。
    (円周率πや自然対数の底eは超越数であることが知られています。)

    √2や√(1+√(2+√3))は代数的数ですが、実は整数から四則演算とべき根をとる演算を有限回実行することでは
    表現できない代数的数も存在します。(5次以上の代数方程式には代数的な一般解法が存在しないことが知られています。)
    しかし、代数的数は高々可算なので、実数が非可算であるのは超越数がすごく多い(?)からなんですね。
    つまり、実数なんてその殆どが超越数ってことですね。

    ・・・なんだか、スレの趣旨からずれてしまったけど、色々調べてn番目の有理数を表す式とか、
    有理数を与えるとそれが何番目か分かるアルゴリズムが見つかると良いですね。
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■45431 / ResNo.7)  Re[3]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ ・ス・ス・ス・ス 一般人(1回)-(2013/07/10(Wed) 00:37:50)
    Domさんの気持ちはわかります。

    私も高校の時、数学の先生に
    「素数の数列って考えられるんですか?」
    と聞いたことがありました。これは
    n番目の素数p(n)を表す簡単な式(例えばnの多項式)がない
    ことを聞きかじったからです。もちろん、この事実は正しいですが、
    素数全体を並べて小さい順に番号を振る、
    ということは問題ないわけです。そういう意味で素数の数列を考えることは問題ありません。
    だから聞かれた先生も大分戸惑っていて「n番目の素数が簡単に表せるか?という意味ですか」と聞き返してこられました。そういわれても自分では「そういう意味ではない気がする」と思ったのですが、今にして思うと、同じ意味だったな、とわかります。

    #哲学的な問題としてn番目の数が具体的に何かよくわからないものを
    #考えてもいいのか、という感覚だったのかも知れません。

    それと同じで、ここに述べた方法で、確実にすべての正の有理数はならべることができます。
    確かに、この並べ方でn番目がどんな数になるか、は、容易にはわからないですが、
    具体的にnが与えられれば、無限の時間と根性があれば必ずn番目の有理数は何かわかる、という意味でちゃんと並べることができたといっていいのです。

    今はしっくりこないかもしれませんが、こういった議論に慣れてくると当たり前と思うようになる時がきます。
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■45432 / ResNo.8)  Re[4]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ Dom 一般人(4回)-(2013/07/10(Wed) 04:55:23)
    2013/07/10(Wed) 05:31:19 編集(投稿者)

    大変有難うございます。なるほど納得です。

    > 具体的にnが与えられれば、無限の時間と根性があれば必ずn番目
    > の有理数は何かわかる、という意味でちゃんと並べることが
    > できたといっていいのです。

    そうですね。これなら可算だと分りますね。
    可算集合を証明するには具体的に全単射の存在を言う必要性は有り,
    図に書いて,既約分数だけ残していって,
    0,1,-1,1/2,-1/2,2/3,-2/3,1/3,-1/3,3/4,-3/4,[2/4],[-2/4],1/4,-1/4,…
    数えていけば,n番目の有理数は探せ得るのですね(そのようなプログラムを作る事も可能ですね)。

    N→Qへの全単射fの存在を証明した人はいないのですね。
    任意のnに対し,n番目のf(n)を表せないのですね(∵有理数は無限に存在する)。

    逆に,任意に有理数p/qを与えた時,f^-1(p/q)を求める事は出来ないのですね(将来は出来るようになるかもしれませんが)。


    因みに素数と同様にn番目の有理数を表す一般項も未だ発見されていないのですね。
解決済み!
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■45433 / ResNo.9)  Re[5]: n番目の有理数を求める公式とは?
□投稿者/ らすかる 付き人(83回)-(2013/07/10(Wed) 22:35:19)
    「n番目の素数を表す式」は存在しますので、
    それと同様の考え方で式を作れば
    おそらく「n番目の有理数を表す式」も作れると思います。
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