数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 単調増加数列 / Page: 0]

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■49067 / 親記事)

　単調増加数列

▼■

□投稿者/ むさし一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 12:29:23)

a[1]=1、a[2]=3、a[n+2]=4a[n+1]-a[n] (n≧1)
で定まる数列a[n]に対し
b[n]=a[n+1]/a[n]
とすると、b[n]が単調増加であることを示すには
どうすればいいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■49068 / ResNo.1)

　Re[1]: 単調増加数列

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 13:30:08)

b[n]=a[n+1]/a[n]
=(4a[n]-a[n-1])/a[n]
=4-a[n-1]/a[n]
=4-1/b[n-1]
b[1]=3＜2+√3
b[n-1]＜2+√3のとき
1/b[n-1]＞1/(2+√3)=2-√3
-1/b[n-1]＜-2+√3
4-1/b[n-1]＜2+√3
∴b[n]＜2+√3
となるのですべてのnに対しb[n]＜2+√3
また条件から明らかにa[n+1]＞a[n]なのでb[n]＞1
よってすべてのnに対して
1＜b[n]＜2+√3
-1＜b[n]-2＜√3
(b[n]-2)^2＜3
∴3-(b[n]-2)^2＞0
となるので、
b[n]-b[n-1]
=4-1/b[n-1]-b[n-1]
={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
＞0

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■49074 / ResNo.2)

　Re[2]: 単調増加数列

▲▼■

□投稿者/ むさし一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 05:56:47)

有り難うございます
意外と考えるところがあって難しいです

解決済み!

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