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■49067
/ 親記事)
単調増加数列
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□投稿者/ むさし
一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 12:29:23)
a[1]=1、a[2]=3、a[n+2]=4a[n+1]-a[n] (n≧1)
で定まる数列a[n]に対し
b[n]=a[n+1]/a[n]
とすると、b[n]が単調増加であることを示すには
どうすればいいのでしょうか?
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■49068
/ ResNo.1)
Re[1]: 単調増加数列
▲
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■
□投稿者/ らすかる
一般人(1回)-(2019/03/23(Sat) 13:30:08)
b[n]=a[n+1]/a[n]
=(4a[n]-a[n-1])/a[n]
=4-a[n-1]/a[n]
=4-1/b[n-1]
b[1]=3<2+√3
b[n-1]<2+√3のとき
1/b[n-1]>1/(2+√3)=2-√3
-1/b[n-1]<-2+√3
4-1/b[n-1]<2+√3
∴b[n]<2+√3
となるのですべてのnに対しb[n]<2+√3
また条件から明らかにa[n+1]>a[n]なのでb[n]>1
よってすべてのnに対して
1<b[n]<2+√3
-1<b[n]-2<√3
(b[n]-2)^2<3
∴3-(b[n]-2)^2>0
となるので、
b[n]-b[n-1]
=4-1/b[n-1]-b[n-1]
={3-(b[n-1]-2)^2}/b[n-1]
>0
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■49074
/ ResNo.2)
Re[2]: 単調増加数列
▲
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■
□投稿者/ むさし
一般人(2回)-(2019/03/24(Sun) 05:56:47)
有り難うございます
意外と考えるところがあって難しいです
解決済み!
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