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Re[1]: 三角関数の不等式
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□投稿者/ らすかる 付き人(63回)-(2013/06/01(Sat) 02:34:28)
 | f(x)=sinx/x, g(x)=cos(αx) とすると
f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2, g'(x)=-αsin(αx)
lim[x→+0]f(x)=lim[x→+0]g(x)=1
lim[x→+0]f'(x)=lim[x→+0]g'(x)=0
なので、0＜x＜π/2 で sinx/x＞cos(αx) であるためには
少なくとも lim[x→+0]f''(x)≧lim[x→+0]g''(x) でなければならない。
この不等式を解くと α≧1/√3
α=1/√3 のとき
sinx/x
＞1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!
＝1-x^2/3!+(x^4/7!)(42-x^2)
＞1-x^2/3!+(x^4/7!)(70/3)
＝1-x^2/3!+x^4/(4!*9)
＞cos(x/√3)
となりsinx/x＞cos(αx)が成り立つので
答えは α=1/√3
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