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連続の定義(ε-δ版)がちゃんと連続の定義(開集合版)になっている事の確認
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□投稿者/ Varvara 一般人(1回)-(2012/03/04(Sun) 23:27:41)
 | 複素関数f:D→C (但し,D⊂C)で
連続の定義「fがz=z_0∈Dで連続⇔0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;|z-z_0|<δ⇒|f(z)-f(z_0)|<ε」…【1】
もう一つの連続の定義「∀V∈nbhd(f(z_0),C),∃U∈nbhd(z_0,D);f(U)⊂V」…【2】
(但し,nbhd(f(z),C)はf(z)のCに於ける近傍)にちゃんと適合しているか確かめてます。
【1】は→C (但し,D⊂C)で
連続の定義「fがz=z_0∈Dで連続⇔0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;f({z∈D;|z-z_0|<δ})⊂{f(z)∈C;{f(z)-f(z_0)|<ε}」…【3】
と書き改める事ができますよね。
これから更に
「fがz=z_0∈Dで連続⇔∀V∈{f(z)∈C;{|f(z)-f(z_0)|<ε};0<ε∈R},∃U∈{z∈D;{|z-z_0|<δ};0<δ∈R};f(U)⊂V」…【4】
と書き改めれると思います。
ここで
{f(z)∈C;{|f(z)-f(z_0)|<ε};0<ε∈R}=nbhd(f(z_0),C)、{z∈D;{|z-z_0|<δ};0<δ∈R}=nbhd(z_0,D)
となる事が言えればお仕舞いなのですが
{f(z)∈C;{|f(z)-f(z_0)|<ε};0<ε∈R}={Ball(f(z_0),ε,C);0<ε∈R}、
{z∈D;{|z-z_0|<δ};0<δ∈R}={Ball(z_0,δ,D);0<δ∈R}迄は言える事は分かりますが
{Ball(f(z_0),ε,C);0<ε∈R}=nbhd(f(z_0),C)、
{Ball(z_0,δ,D);0<δ∈R}=nbhd(z_0,D)
となる事はどうすれば言えますでしょうか?
{Ball(f(z_0),ε,C);0<ε∈R}⊂nbhd(f(z_0),C)、
{Ball(z_0,δ,D);0<δ∈R}⊂nbhd(z_0,D)は明らかですが
{Ball(f(z_0),ε,C);0<ε∈R}⊃nbhd(f(z_0),C)、
{Ball(z_0,δ,D);0<δ∈R}⊃nbhd(z_0,D)は明らかではないのですよね。
(nbhd(f(z_0),C)やnbhd(z_0,D)の元が必ずしも円形になっているとは限らないからので)
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