□投稿者/ おっとっと 一般人(1回)-(2008/10/19(Sun) 21:35:35)
 | |z|<=1は-1<=z<=1を表している。
f(z)=z(z+1)(z-2)(z-3)=z(z-2)(z+1)(z-3)=(z^2-2z)(z^2-2z-3)
=(z^2-2z)^2-3(z^2-2z)=(z^2-2z)^2-2*3/2*(z^2-2z)=(z^2-2z-3/2)^2-(3/2)^2
=(z^2-2z-3/2)^2-9/4となり、
ここで、g(z)=z^2-2z-3/2とおくと、f(z)=g(z)^2-9/4で、
g(z)=z^2-2z-3/2=z^2-2z+1-1-3/2=(z-1)^2-5/2となる。
-1<=z<=1の時、
-2<=z-1<=0→0<=(z-1)^2<=4→-5/2<=(z-1)^2-5/2<=3/2なので、
-5/2(=g(1))<=g(z)<=3/2(=g(-1))となり、
0(g(z)=0の時)<=g(z)^2<=25/4(g(1)の時)
→-9/4(g(z)=0の時)<=g(z)^2-9/4<=4(g(1)の時)なので、
-9/4(g(z)=0の時)<=f(z)<=4(g(1)の時)となる。
以上より、z=1の時、|f(z)|は最大値|f(1)|=4をとる。
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