数学ナビゲーター掲示板 [No27122 の記事表示]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

No27122 の記事

■27122 / )

　数列の極限

□投稿者/ 考える人一般人(36回)-(2007/08/05(Sun) 18:48:47)

漸化式
　　　　 $2$a_1, a_{n+1}=1+\sqrt{1+a_n} (n=1,2,3,......)$
によって定められる数列 $2$\left{ a_n \right}$ について、
$2$\lim\limits_{n \to \infty } a_n =\alpha$ が存在するならば、 $2$\alpha =3$
でなければならないことを示せ。

という問いなんですが、

解説では

$2$a_1, a_{n+1}=1+\sqrt{1+a_n}$ ・・・・・・①
$2$\lim\limits_{n \to \infty } a_n =\alpha$ ならば①より
$2$\lim\limits_{n \to \infty } a_{n+1} =\lim\limits_{n \to \infty } ( 1+\sqrt{1+a_n} )$

$2$a_1=2>0$ であるから①より帰納的に $2$a_n>0$
関数 $2$f(x)=1+$ 1+\sqrt{1+x}は $2$x>0$ において連続であるから
$2$\lim\limits_{n \to \infty } f(a_n)=f(\alpha )=1+\sqrt{1+\alpha }$ が成り立つので、 $2$\alpha=1+\sqrt{1+\alpha }$ とあるんですが、

どうして $2$\alpha=1+\sqrt{1+\alpha }$ になるのか分かりません。
$2$a_{n+1} =f(a_n)$ となるのは分かるのですが・・・

どなたか教えてください。

返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター