□投稿者/ X 大御所(266回)-(2007/05/27(Sun) 17:42:23)
 | 2007/05/28(Mon) 09:40:11 編集(投稿者)
(1)
(与式)=[{(x-t)^2}sint][0→x]+2∫[0→x](x-t)sintdt
=2[-(x-t)cost][0→x]-2∫[0→x]costdt
=2x-2sinx
(2)
x=0のときは、
|Θ|<|x|
は
|Θ|<0
このようなΘは存在しませんのでx≠0の場合を考えます。
(1)の結果より
x-sinx=(1/2)∫[0→x]{(x-t)^2}costdt (A)
(A)の右辺において,x-t=uと置いて
x-sinx=(1/2)∫[0→x](u^2)cos(x-u)du (A)'
ここで平均値の定理により
(1/x)∫[0→x](u^2)cos(x-u)du=(Θ^2)cos(x-Θ) (B)
なるΘが
0<Θ<x(x>0のとき) (C)
x<Θ<0(x<0のとき) (C)'
の範囲に存在することがいえます。
(B)より
∫[0→x](u^2)cos(x-u)du=x(Θ^2)cos(x-Θ) (B)'
(C)(C)'はまとめて
|Θ|<|x| (Θ,xは同符号)(C)"
(A)'(B)'(C)"より
x-sinx=(1/2)x(Θ^2)cos(x-Θ)
|Θ|<|x|(Θ,xは同符号)
なるΘが存在します。
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