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　Re[1]: 不定積分

□投稿者/ ウルトラマン一般人(41回)-(2006/12/26(Tue) 20:46:36)

うみさん，こんばんわ．
> 教えて下さい。
>
> ∫1/x^3+1 ｄｘ
>
> の問題が解けません。宜しくお願いします。
>

$2$ x^{3}+1 = (x+1)(x^{2}-x+1)$
を利用して，被積分関数を部分分数に分解してみましょう．
具体的には，恒等式：
$2$ \frac{1}{x^{3}+1} = \frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^{2}-x+1}$
が成立するように，実数 $2$a,b,c$ の値を決めてやります．すると，
$2$ \frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^{2}-x+1} \\ = \frac{(bx+c)(x+1)+a(x^{2}-x+1)}{x^{3}+1} \\ = \frac{(a+b)x^{2}+(-a+b+c)x+(a+c)}{x^{3}+1}$
であるから，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} a+b=0 \\ -a+b+c=0 \\ a+c=1 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow a=\frac{1}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=\frac{2}{3}$
よって，(与式）は
$2$ \frac{1}{3}\displaystyle\int\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{3}\displaystyle\int\frac{x-2}{x^{2}-x+1}dx \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\displaystyle\int\frac{2x-4}{x^{2}-x+1}dx \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\displaystyle\int\frac{(2x-1)-3}{x^{2}-x+1}dx \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\frac{(x^{2}-x+1)'}{x^{2}-x+1}dx-\frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-x+1} \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\log (x^{2}-x+1)-\frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-x+1} \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\log (x^{2}-x+1)-\frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}$
ここで，
$2$ x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta$
と置換積分すると，
$2$ dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos ^{2}\theta}d\theta$
また，
$2$ \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4} \\ =\frac{3}{4}\tan ^{2}\theta+\frac{3}{4} \\ =\frac{3}{4}(1+\tan ^{2}\theta) \\ =\frac{3}{4}\frac{1}{\cos ^{2}\theta}$
であるから，
$2$ \displaystyle\int\frac{dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} \\ =\displaystyle\int\frac{d\theta}{\sqrt{3}} \\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\theta \\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\tan ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)$
よって， $2$C$ を積分定数として，
$2$ \displaystyle\int\frac{dx}{x^{3}+1} \\ =\frac{1}{3}\log |x+1|-\frac{1}{6}\log (x^{2}-x+1)-\frac{\sqrt{3}}{6}\tan ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right)+C$
ってな感じでしょうか．．．．

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