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Re[4]: NO TITLE
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□投稿者/ みっちぃ 付き人(60回)-(2005/07/13(Wed) 00:55:16)
 | この問題は，さっきの問題の続きですね．先ほどの問題では，m>nの時を考えていましたので，それを上手く使っていきましょう．
i)m=nのとき
m^3+n^3=p^3 ⇒2m^3=p^3で，p=m*[3]√2(2の3乗根) で，[3]√2は無理数なので，p=m*[3]√2を満たす自然数p,mは存在しない．
ii)m≠nのとき
m>nでもm<nでも同様の議論が出来るので，m>nとして一般性を失いません．(←対称式の証明ではよくやりますよね)
m^3+n^3=p^3 ⇒(m+n)*(m^2-mn+n^2)=p^3です．
ここで，m,nが自然数なのでm+n>1です．さらに，先ほどの問題でm^2-mn+n^2≧m+n(>1)と証明されているので，
(m+n)と(m^2-mn+n^2)の積がp^3となるとき，m+n=p，m^2-mn+n^2=p^2となる場合しか考えられません．
しかしながら，この場合(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=p^2なので，m^2+2mn+n^2=m^2-mn+n^2 ⇒mn=0
となってしまい，m,nが両方自然数であることに反します．
よって，m^3+n^3=p^3は成り立たない
i),ii)のどちらの場合においても，m^3+n^3=p^3となる自然数m,nは存在しません．
ちなみに，この問題はフェルマーの最終定理のかなり条件を制限したバージョンですね．
なかなか面白い問題だと個人的に思います．
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