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　2変数の極限

□投稿者/ digi 一般人(7回)-(2006/08/28(Mon) 17:51:48)

問題　次の極限値を求めよ。
$2$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$
この問題のとき方としては、
(1)極座標表示を用いる
(2)直線 $2$y=mx$ 上で原点に近づくとする
というのがあると思います。ここで質問なのですが、
(a)(1)で $2$x=r\cos {\theta},y=r\sin {\theta}$ として代入すると、 $2$r$ は変数で、 $2$\theta$ は定数扱いになりますよね？でも、この問題を解くと、
$2$\lim_{r\rightarrow0}\sin {\theta}\cos {\theta}$
となって、極限値は無しという答えになりますよね？これでは、 $2$\theta$ は変数なのでは？

(b) $2$x$ 、 $2$y$ は独立変数だから(2)のような関係が成り立つとは限らないのではないでしょうか？

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