□投稿者/ X 軍団(107回)-(2005/06/25(Sat) 10:58:08)
 | 2005/06/25(Sat) 11:01:08 編集(投稿者)
2005/06/25(Sat) 11:00:41 編集(投稿者)
少し技巧的です。
積分
I=∫[0→π]xsinx/{1+(sinx)^2}dx
について、π-x=tと置くとdx=-dtでx:0→πにt:π→0が対応し
I=∫[0→π](π-t)sin(π-t)/{1+(sin(π-t))^2}dt
=∫[0→π](π-t)sint/{1+(sint)^2}dt
=∫[0→π](π-x)sinx/{1+(sinx)^2}dx
=π∫[0→π]sinx/{1+(sinx)^2}dx-∫[0→π](xsinx/{1+(sinx)^2}dx
=π∫[0→π]sinx/{1+(sinx)^2}dx-I
∴2I=π∫[0→π]sinx/{1+(sinx)^2}dx
∴∫[0→π]xsinx/{1+(sinx)^2}dx=I=(π/2)∫[0→π]sinx/{1+(sinx)^2}dx
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