□投稿者/ はまだ 大御所(272回)-(2006/05/18(Thu) 00:06:31)
 | ■No12180に返信(Tomさんの記事)
i<j
まず、a_i=小、a_j=大 とします
A=ia_i+ja_j＝i小+j大
次にa_iとa_jの数値を入れ替えたものを
B=i大+j小
とします。
A-B＝i小+ｊ大-i大-j小＝(j-i)(大-小）＞0
A＞B
これは 数列{a_k}で、i<jなのにa_i>a_jなる項があれば、その数値を入れ替えると ∑（k=1～n) k(x_k) はより大きくなることを意味します。
従って最大値は a_k=kのとき ∑（k=1～n) k^2＝1/6(2n^3+3n^2+n)
逆に最小値は a_k=n+1-k のとき ∑（k=1～n) ((n+1)k-k^2)=1/6(n^3+3n^2+2n)
∑((xk)-k)^2=∑((x_k)^2-2k(x_k)+k^2)=∑k^2-2∑k(x_k)+∑k^2
これは∑k(x_k)が最小のときに最大になる
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