□投稿者/ KINO 一般人(11回)-(2005/04/17(Sun) 04:32:05)
 | ■No111に返信(莉璃さんの記事)
はじめまして。＞莉璃さん
このあたりの問題は結構難しいですが，典型的な問題をいくつか理解すれば，あとは大体同じようにやればできます。
とにかく，2次関数のグラフをイメージして問題の状況をとらえることに集中してください。
2次方程式 x^2+(a+2)x+a^2+a-6=0 が解をもつ，ということは，f(x)=x^2+(a+2)x+a^2+a-6 とおいたとき，y=f(x) のグラフ（下に凸（トツ）な放物線で，Ｕの字型）がx軸と交点をもつというように言い換えられます。この言い換えをしっかり理解してください。
ところで，(1) の問題は「1より小さな解と1より大きな解をもつとき」でいいのでしょうか？ちょっとタイプミスがあるようなので，もう一度問題を教えてください。
とりあえず (2) の解説のみ。
(2) の問題の条件は，グラフの言葉で書くと「0 より大きいところでＵの字型の放物線が x 軸と相異なる2点で交わる」となります。
そのような放物線を xy 平面に適当に書いてみてください。そうすると，
(ア) y 軸との交点は x 軸よりも上側にある。
(イ) 放物線の軸は y 軸よりも右側にある。
(ウ) 頂点は x 軸よりも下側にある。
という特徴があるはずです。逆に，この3つの条件をみたすようにグラフを描いてみると，必ず原点よりも右側で x 軸と2つの交点をもつことがわかります。
これら3つの条件を式で表してみましょう。
(ア) これは f(0)>0 ということです。f(0)=a^2+a-6 より，a^2+a-6>0.
因数分解すると (a+3)(a-2)>0. これより a<-3 または 2<a.
(イ) f(x)={x+(a+2)/2}^2-{(a+2)/2}^2+a^2+a-6 より，軸の方程式は x=-(a+2)/2.
これが y 軸よりも右側，つまり x>0 の範囲にあることから，-(a+2)/2>0.
両辺に -2 をかけると，これは負の数だから不等号の向きが反対になって a+2<0.
よって a<-2.
(ウ) これは判別式 D が 0 よりも大きいことに相当します。よって
D=(a+2)^2-4(a^2+a-6)=-3a^2+28>0. つまり a^2-28/3<0.
因数分解して (a+2√7/√3)(a-2√7/√3)<0.
(√28=2√7 です。)
これより -2√7/√3<a<2√7/√3.
ここで，(2√7/√3)^2=28/3>9=3^2 より，3<2√7/√3 がわかります。
これから，-2√7/√3<-3 となります。
(ア)，(イ), (ウ)から出てきた範囲を数直線上に図示して，共通部分を求めれば
-2√7/√3<-3 より，-2√7/√3<a<-3 が答えとなります。
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