□投稿者/ ('-'*) 一般人(1回)-(2006/03/23(Thu) 19:30:24)
 | a_k,b_k(1≦k≦n)を全て正の実数とする。n≧2のとき、次の不等式が成立することを数学的帰納法で証明せよ、という問題です。
Σ[i=1→n]b_i/Σ[i=1→n]a_i＜Σ[i=1→n]b_i/a_i-①
解答とちょっと違う(?)のですが合っているか教えていただきたいです。
まずn=2での成立とn=mでの成立を仮定し、①においてn=m+1のとき、
(右辺)-(左辺)=
{(b_1/a_1)+(b_2/a_2)+...+(b_(m+1)/a_(m+1))}
-(b_1+b_2+...+b_(m+1))/(a_1+a_2+...a_(m+1))
＞{(b_1/a_1)+(b_2/a_2)+...+(b_m/a_m)}
-{(b_1+b_2+...+b_(m+1))/(a_1+a_2+...a_m)}+b_(m+1)/a_(m+1)
=(n=mで成立を仮定した式)-{b_(m+1)/(a_1+a_2+...a_m)}+b_(m+1)/a_(m+1)
(n=mでの成立を仮定した式)＞0で、後半の部分も明らかに0より大きいのでn=m+1のときも成り立つ、です。
よろしくお願いします。
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