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■52901 / 1階層) 　積分の漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2025/07/13(Sun) 09:43:21)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    nを自然数として I[n] = ∫{((1+cos(x))/2)^(n-1)}{(-1/cos(x))^n}dx と解釈して回答します。

    t = tan(x/2) とおけば、cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2) ですので、
    I[n] = ∫{((1+(1-t^2)/(1+t^2))/2)^(n-1)}{(-1/((1-t^2)/(1+t^2)))^n}{2/(1+t^2)}dt
    = 2∫{1/((t^2-1)^n)}dt

    技巧的ですが、上記は部分積分を用いて以下のように変形できます。
    I[n] = 2t/((t^2-1)^n)-2∫{t*(-2nt)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2-1+1)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+2n(I[n]+I[n+1])

    ⇒ I[n+1] = {(1-2n)I[n]-2t/((t^2-1)^n)}/(2n)
    = {(1-2n)I[n]-2tan(x/2)/((tan(x/2)^2-1)^n)}/(2n)

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