□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2025/06/15(Sun) 09:10:03)
 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
[補題]
正の実数u, v, x, yに対して、u ≧ v かつ x ≧ y ならば u^x-v^x ≧ u^y-v^y が成立する。
[補題の証明]
y以上の実数xに対して f(x) = u^x+v^x-u^y-v^y とおき、f(x)の増減を調べます。
f'(x) = (u^x)log(u)-(v^x)log(v) です。
(1) u ≧ v ≧ 1 の場合
u^x ≧ v^x > 0 かつ log(u) ≧ log(v) ≧ 0 なので
(u^x)log(u) ≧ (v^x)log(v) つまり f'(x) ≧ 0 と言えます。
(2) u ≧ 1 ≧ v > 0 の場合
log(u) ≧ 0 かつ log(v) ≦ 0 なので f'(x) ≧ 0 と言えます。
(3) 1 > u ≧ v > 0 の場合
u^x ≧ v^x かつ u/v ≧ 1 かつ uv < 1 ですので
f''(x) = (u^x)(log(u)^2)-(v^x)(log(v)^2) ≦ (v^x)(log(u)^2-log(v)^2) = (v^x)log(u/v)log(uv) < 0
となり、f'(x)は単調減少です。
f'(0) = log(u)-log(v) = log(u/v) ≧ 0 です。
また、lim[x→∞]f'(x) = 0 となることから f'(x) ≧ 0 と言えます。
よって、いずれの場合も x > 0 で f'(x) ≧ 0 となりますので、f(x)は単調増加と言えます。
f(y) = 0 ですから x ≧ y で f(x) ≧ 0 が成立します。
[補題終了]
上記補題を用いれば以下のように題意を証明できます。
a ≧ b ≧ c と仮定しても一般性は失われません。
証明すべき式は
a^a+b^b+c^c ≧ a^b+b^c+c^a
⇒ {(a^a-b^a)-(a^b-b^b)}+{(b^a-c^a)-(b^c-c^c)} ≧ 0
a ≧ b なので補題より (a^a-b^a)-(a^b-b^b) ≧ 0
同様に a ≧ c かつ b ≧ c なので (b^a-c^a)-(b^c-c^c) ≧ 0
となって題意は成立すると言えます。
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