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■52883 / 1階層) 　相加相乗で
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2025/05/25(Sun) 08:49:10)
    解答ではなく参考情報です。
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

    x > 0 で f(x) = x+1/x-1/(x+1) = x+1/(x^2+x) とおくと、1/(x^2+x) > 0 ですから、
    相加相乗平均の大小関係から f(x) ≧ 2√(x*(1/(x^2+x))) = 2√(1/(x+1)) となり、
    0 < 2√(1/(x+1)) < 2 だから最小値があればこの範囲の値だろうとは推論できます。

    そもそも最小値が存在するのかどうかも分からない状態で、
    ある定数sに対して f(x) ≧ s の形に持ち込めるのか試行錯誤しても徒労に終わる可能性があります。

    余談ですが数学では「どうしてそれを思い付いたのか」を説明する必要はないので、
    いきなり s = {-3+√(13+16√2)}/2, w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 とおけば、
    x > 0 で f(x) ≧ s であり、f(w) = s であることさえ示せればsが最小値であるといえると思います。

    とは言っても、f(x)を眺めていただけで最小値 {-3+√(13+16√2)}/2 を見出せる方はいないと思うので、
    以下、相加相乗平均の不等式は使いませんが、最小値の存在とその値の求め方を解説します。

    f'(x) = (x^4+2x^3+x^2-2x-1)/{(x^2)(x+1)^2}

    f'(x)の分母は正なので、分子の符号を調べます。
    g(x) = x^4+2x^3+x^2-2x-1 とおくと、
    g'(x) = 4x^3+6x^2+2x-2
    g''(x) = 12x^2+12x+2 = 3(2x+1)^2-1 > 0
    # x > 0なので2x+1 > 1 ⇒ 3(2x+1)^2 > 3

    x > 0 で g''(x) > 0 なので g'(x) は単調増加です。
    g'(0) = -2, g'(1) = 10 なので、0 < u < 1 となる実数uで g'(u) = 0
    0 < x < u で g'(x) < 0 なのでg(x)は減少、g(x) < 0
    x = u で g'(x) = 0 なのでg(x)は極小、g(x) < 0
    u < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加

    つまり、0 < u < w < 1 となる実数wが存在して、
    u < x < w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) < 0
    x = w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) = 0
    w < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) > 0
    となる訳で、g(x)とf'(x)の符号は同じだから x = w でf(x)は極小になるといえます。

    g(x) = 0 となる x = w を求めます。フェラーリの公式を使うた為、y = x+1/2とおくと、
    x^4+2x^3+x^2-2x-1 = y^4-(1/2)y^2-2y+1/16 = 0
    ⇒ y^4+z(y^2)+(z^2)/4 = (z+1/2)y^2+2y+((z^2)/4-1/16)

    右辺も平方完成できるようにzを定めます。分解方程式は右辺の2次式の判別式を0とおけば良いので
    2^2-4(z+1/2)((z^2)/4-1/16) = 0
    ⇒ z^3+(1/2)z^2-(1/4)z-33/8 = 0
    ⇒ 8z^3+4z^2-2z-33 = (2z-3)((2z)^2+4(2z)+11) = 0

    z = 3/2 と選ぶと、
    ⇒ (y^2+3/4)^2 = 2(y+1/2)^2
    ⇒ {y^2-(√2)y+(3-2√2)/4}{y^2+(√2)y+(3+2√2)/4} = 0
    と因数分解できます。

    上記後半の2次方程式は実数解を持ちません。
    前半の2次方程式は実数解を持ちますが、x = y-1/2 > 0 を満たすのは
    y = {(√2)+√(2√2-1)}/2 のみで、w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 となります。
    よって、最小値は f(w) = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。

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