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■52871 / 1階層) 　回転体の体積
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2025/05/11(Sun) 09:21:29)
    > Y(t)はdxではなくdyでは？
    仰る通りでした。申し訳ありません。

    y = f(x)がx > 0で一価関数と仮定し、y = f(x)の逆関数をx = h(y)とします。
    x = 0でy = f(0) = 0より、h(0) = 0です。
    また、dx/dy = (d/dy)h(y) = h'(y)です。
    # 上記のダッシュ「'」はyによる微分

    よって、
    Y(t) = π∫[0,f(t)]{x^2}dy
    = π∫[0,f(t)]{h(y)^2}h'(y)dy
    = (π/3)(h(f(t))^3)
    = (π/3)(t^3)

    # 以下「'」はtによる微分
    X(t) = Y(t)
    ⇒ πg(t) = (π/3)(t^3)
    ⇒ g'(t) = t^2 = f(t)^2
    ⇒ f(t) = t または f(t) = -t

    x > 0でf'(x) > 0より、題意を満たすのはf(x) = xのみとなります。

    # また間違ってたらごめんなさい!
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├Nomal Re[1]: 回転体の体積 / WIZ (25/05/10(Sat) 21:16) #52869
│└Nomal Re[2]: 回転体の体積 / 健作 (25/05/10(Sat) 22:09) #52870
├Nomal 回転体の体積 / WIZ (25/05/11(Sun) 09:21) #52871 ←Now
│└Nomal Re[2]: 回転体の体積 / 健作 (25/05/11(Sun) 16:59) #52872
└Nomal Re[1]: 回転体の体積 / WIZ (25/05/11(Sun) 18:51) #52873
  └Nomal Re[2]: 回転体の体積 / 筑波 (25/05/14(Wed) 22:09) #52875 解決済み!

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