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■51932 / 1階層)  位相数学の問題です
□投稿者/ マシュマロ 一般人(24回)-(2022/07/25(Mon) 03:15:10)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは☆

    (2)の方が簡単なので、まずそちらから。

    原点O=(0,0,0)を基点として考えます。

    p=(1,0,0),q=(−1,0,0),r=(0,0,1),s=(0,0,−1)

    とおきます。

    Oから上記のいずれかの点α∈{p,q,r,s}に動き、その後球面上を
    いずれかの点β∈{p,q,r,s}に動いた後、Oに戻るという
    道を(α,β)と表すことにします。
    このような道の有限個の積が基本群の類を生成します。

    (α,α)は自明な道〈0〉なので、それ以外の12通りが生成元と
    なりますが、さらに(α,β)(β,α)=〈0〉,また
    (α,β)(β,γ)=(α,γ) (α,β,γ∈(p,q,r,s))
    となるので、生成元としては
    a=(p,q),b=(p,r),c=(p,s)
    をとることができます。

    このa,b,cで生成される自由群が求める基本群となります。


    (1)も原点О=(0,0)を基点として考えます。

    p=(1/√2,1/√2),q=(−1/√2,1/√2),
    r=(−1/√2,−1/√2),s=(1/√2,−1/√2)
    とおきます。

    Оからαに動き、その後円周上をβに動いた後、Оに戻る道を(α,β)とおきます。
    (α,β∈(p,q,r,s))

    (2)と同様に考えて、a=(p,q),b=(q,r),c=(r,s),d=(s,p)とおくと
    基本群はa,b,c,dで生成される自由群となります。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
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