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■50570 / 4階層)  整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 06:11:20)
    以下は導出過程です
    記号はさっきの記事を継承します

    まず必要条件から絞ることを考える
    5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0
    がある整数x,yに対して成立していたとする

    -4y = x+9 ± √(21x^2-46x+89) ...(△)
    となるように符号を選ぶことができる

    21x^2-46x+89 = w^2 を満たす整数wが取れる
    よって, (21x-23)^2 - 21w^2 = -1340 を得る
    z = 21x-23 とおけば z^2 - 21w^2 = -1340 ...(☆)

    ここで I=(z-wα)A とおく
    (つまり,Iはz-wαで単生成するAのイデアル)

    以下, N(.)はAのイデアルのノルム関数とする.

    ☆より N(I) = |1340| = 2^2*5*17 である

    Kの判別式は 21 であるので
    (21/5) = (21/67) = 1 より
    5A,67A は以下のように異なる素イデアルの積に分解する:
    5A = (5,α+1)(5,α-1)
    67A = (67,α+17)(67,α-17)

    また,2Aは既に素イデアルである

    したがって N(I)= 2^2*5*17 とあわせて
    Iは以下の4つのいずれかに一致している:

    2A(5,α+1)(67,α+17)
    2A(5,α+1)(67,α-17)
    2A(5,α-1)(67,α+17)
    2A(5,α-1)(67,α-17)

    それぞれのイデアルの積を計算すると

    (19 + 9α)A,(2 - 8α)A,(19 - 9α)A,(2 + 8α)A となる

    (共役を考えれば4つのうち前半の2つだけで残りがわかる)

    さて,Aの基本単数を計算することになるが
    そのためには |p^2-21q^2|=4 を満たす最小の正整数解を求めればよい.
    (p,q)=(5,1)が要件を満たすので冒頭で定めたεは実は基本単数である.
    (一般には正則連分数展開から2次体の基本単数は高速に求まる)

    I = (19 + 9α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (19 + 9α)A であるので
    z-wα = ±(19 + 9α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (19 - 9α)A のケースを考える必要はない

    I = (2 + 8α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (2 + 8α)A であるので
    z-wα = ±(2 + 8α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (2 - 8α)A のケースを考える必要はない

    まとめると ある整数nが存在して
    z-wα = ±sε^n または z-wα = ±tε^n
    が成立するように符号を選ぶことができる

    z = 21x-23 だから z≡ -2 (mod αA) となる
    よって, ε,s,t をmod αA で考えることで
    nが偶数であることがいえる

    より正確には,
    z-wα = sε^n または z-wα = -tε^n
    がある偶数nに対して成立するとなる,

    あとは△の右辺が4の倍数である条件を考えるだけでよい.
    そのためには ε^6≡1 (mod 4A) などに注意して
    nをmod 6 で類別し s,t,ε^2,ε^4 などをmod 4Aで計算する.
    ここからはひたすらルーチンなので ここで終わりとする
    (絞れて得られた解が実際に解になることは難しくない)

    以上の解法を4ステップでいうなら
    まず判別式、次にイデアルの計算、そして基本単数、最後にmodulo計算
    (実は今回のパターンではAは単項イデアル整域である
    そのことはたとえばMinkowski's boundを用いれば易い
    しかしながらAがPIDでなくても上記解法に不都合は生じない)

    導出過程の概略ここまで



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