□投稿者/ らすかる 一般人(18回)-(2020/09/23(Wed) 03:14:36)
 | P(0,0,t),Q(0,t,0),R(t,0,0)（t＞0）とすると
それぞれの点から平面x+ay+bz=0までの距離は
|bt|/√(a^2+b^2+1), |at|/√(a^2+b^2+1), |t|/√(a^2+b^2+1)だから
これが1,2,4になるためにはb=1/4,a=1/2,t=√21
つまりP(0,0,√21),Q(0,√21,0),R(√21,0,0)から
4x+2y+z=0までの距離が順に1,2,4。
x'=(x-2y)/√5, y'=(2x+y)/√5, z'=zとおいて回転すると
P'(0,0,√21),Q'(-2√105/5,√105/5,0),R'(√105/5,2√105/5,0),
平面は(2√5)y'+z'=0
x''=x, y''={y'-(2√5)z'}/√21, z''={(2√5)y'+z'}/√21とおいて回転すると
P''(0,-2√5,1),Q''(-2√105/5,√5/5,2),R''(√105/5,2√5/5,4),
平面はz''=0
よって、このP'',Q'',R''をA,B,Cとすれば条件を満たす。
またyz平面に関する対称移動やzx平面に関する対称移動を行っても条件を満たすので、
解は全部で4通りあり、具体的には
A(0,-2√5,1),B(干2√105/5,√5/5,2),C(±√105/5,2√5/5,4)（複合同順）と
A(0,2√5,1),B(干2√105/5,-√5/5,2),C(±√105/5,-2√5/5,4)（複合同順）。
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