数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 四角形の極限]

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　四角形の極限

□投稿者/ m 一般人(5回)-(2020/03/08(Sun) 12:49:16)

2020/03/08(Sun) 12:51:41 編集(投稿者)

ゴリゴリやればできます。
もっといい方法がありそうだけど。

（記号" $2$\angle XYZ$ "は角XYZを意味します。なぜかうまく変換されない。）

$2$ \angle ADB = \alpha, \angle BAC = \beta, \angle CAD = \gamma$
とおく。
$2$\triangle ABD$ に注目して $2$ \angle DBA = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)$ だから正弦定理より
$2$ 2R = a / \sin \alpha = b / \sin \beta = c / \sin \gamma = d / \sin (\alpha + \beta + \gamma)$

よって
$2$ d = 2R \sin (\alpha + \beta + \gamma) \\ = 2R (\sin \alpha \cos (\beta + \gamma) + \cos \alpha \sin (\beta + \gamma)) \\ = 2R ( \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma ) \\ = a \cos \beta \cos \gamma - abc / (2R)^2 + b \cos \alpha \cos \gamma + c \cos \alpha \cos \beta$

より
$2$ R^2(a+b+c-d) \\ = R^2 (a(1-\cos \beta \cos \gamma) + b(1-\cos \gamma \cos \alpha) + c(1-\cos \alpha \cos \beta) ) +abc/4 \\$

ここで
$2$ R^2 (1-\cos \beta \cos \gamma) = R^2 \frac{1 - \cos ^2 \beta \cos ^2 \gamma}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{1 - (1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{\sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma -\sin ^2 \beta \sin ^2 \gamma}{1+\sqrt{(1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}} \\ = R^2 \frac{(b/2R)^2 + (c/2R)^2 - (b/2R)^2 (c/2R)^2 }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ = \frac{b^2/4 + c^2/4 - b^2 c^2/(16R^2) }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ \to \frac{b^2/4 + c^2/4 -0}{1+1} = \frac{b^2 + c^2}{8} \ (R \to \infty)$
が成り立つ。他の項も同様。

よって
$2$ R^2(a+b+c-d) \to \frac{1}{8}(a(b^2+c^2) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2) +2abc) \\ = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$

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