数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[3]: sinの不等式]

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■50229 / 3階層)

　sinの不等式

□投稿者/ m 一般人(4回)-(2020/03/03(Tue) 13:57:54)

2020/03/03(Tue) 14:17:56 編集(投稿者)
2020/03/03(Tue) 14:16:27 編集(投稿者)

$2$0<r<1, \ 0 \lt \theta \lt \pi/2$ で示せば十分。
（∵
$2$\theta = \pi/2$ のときは $2$\sum r^{2k-1}>0$ となって成立
$2$\pi/2 \lt \theta \lt \pi$ のとき $2$\sin \theta = \sin (\pi - \theta)$ より $2$0 \lt \theta \lt \pi/2$ に帰着
）

複素平面で考える。

$2$ z = r e^{i \theta} \\ P_n = \begin{cases} \sum_{k=1}^n z^{2k-1} & (n \geq 0) \\ - z^{-1} & (n=-1) \end{cases} \\ Q_n = P(n-1) + z^{2n-1}/r^2 \\ R_n = P(n-1) + (1-r^2) z^{2n-1}$
と定める。

$2$P_n$ の虚部 $2$Im(P_n) = \sum_{k=1}^n r^{2k-1} \sin (2k-1) \theta \gt 0$ を示す。

三点 $2$P_{n-1}, P_n, Q_{n+1}$ を通る円を $2$C_n$ 、その内側を $2$D_n$ とする。

次の3つを示せばいい。

(1) $2$P_{n+1} \in D_n \ (n \geq 0)$

(2) $2$D_{n+1} \subset D_n \ (n \geq 0)$

(3) $2$D_0 \subset$ (上半平面 $2$ = \{z \in \mathbb{C} \mid Im(z) \gt 0 \}$ )

証明：
図 ttps://www.geogebra.org/classic/uvhyd27f

(1)
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
よって $2$P_{n+1} \in D_n$

(2)
$2$ \angle P_n P_{n+1} Q_{n+2} = \pi - 2 \theta = \angle R_n P_n P_{n+1} \\ r^{2n+1} = |P_{n+1} Q_{n+2}| = |P_n P_{n+1}| = |R_n P_n|$
より円 $2$C_{n+1}$ は三点 $2$R_n, P_n, P_{n+1}$ を通る。

点 $2$R_n$ は線分 $2$P_{n-1} P_n$ の内分点
点 $2$P_{n+1}$ は線分 $2$P_n Q_{n+1}$ の内分点
だから（点 $2$P_n$ と $2$C_{n+1}, C_n$ の中心が順に同一直線上に並んで、半径は $2$C_{n+1}$ の方が短いことが言えるから）
$2$D_{n+1} \subset D_n$

(3)
$2$ P_0 = 0, \\ Q_1 + P_{-1} = (e^{i \theta} -e^{- i \theta})/r = 2 i \sin \theta /r$
より、 $2$C_0$ の中心は虚軸正にある。原点を通るから上半平面にある。

もしかしたら、もっと簡単にできるかもしれません。
" $2$\angle ABC$ "は角ABCの意味です。（"\angle"がうまく変換されない。）

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