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■50149 / 3階層) 　合同式の計算
□投稿者/ らすかる 付き人(54回)-(2019/11/04(Mon) 23:47:48)
    > やはり画像のように地道に計算するしかないんですね
    いいえ、そんなことはないです。
    指数に「同じ法」の剰余が使えないだけで、別の法の剰余は使えます。
    2000^2000≡5^2000(mod7)
    5^1≡5(mod7)
    5^2≡5×5≡4(mod7)
    5^3≡4×5≡6(mod7)
    5^4≡6×5≡2(mod7)
    5^5≡2×5≡3(mod7)
    5^6≡3×5≡1(mod7)
    5^7≡1×5≡5(mod7)
    ですから
    a≡b(mod6)のとき5^a≡5^b(mod7)です。
    従って
    5^2000=5^(333×6+2)≡5^2≡4(mod7)と求められます。

    元の問題も
    2000^2000≡8^2000(mod12)
    8^1=8(mod12)
    8^2=8×8≡4(mod12)
    8^3=4×8≡8(mod12)
    なので
    a≡b(mod2)のとき8^a≡8^b(mod12)となりますので、
    8^2000=8^(999×2+2)≡8^2≡4(mod12)
    ※2行上のa,bは1以上でないと成り立たないので0にしてはいけない
    のようにできます。


    > 整数 a、b、p、n について
    > a≡b (mod p) ⇒ n^a≡n^b
    > が成り立ちそうですけど、成り立ちますか？
    成り立ちません。
    反例：
    1≡5(mod4)ですが2^1≡2^5(mod4)は成り立ちません。

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