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■50109 / 1階層)  4次関数
□投稿者/ らすかる 一般人(38回)-(2019/10/21(Mon) 05:55:07)
    まずf(α)>f(β)である場合を考える。
    f(x)を平行移動しても(β-α)/(γ-α)の値は変わらないので
    α=0,f(α)=0となるように平行移動し、その結果を
    g(x)=(x^2)(x-p)(x-q) (0=α<γ<p<β<q)
    とおく。
    このときα=0なのでβ/γを求めればよい。
    g'(x)=4x^3-3(p+q)x^2+2pqxだが今後p+qとpqは頻出なのでu=p+q,v=pqとおく。
    g'(x)=4x^3-3ux^2+2vx
    g'(x)=0の3解はx=0,{3u±√(9u^2-32v)}/8なので
    β={3u+√(9u^2-32v)}/8, γ={3u-√(9u^2-32v)}/8となる。
    3接線が等間隔という条件からg(β)+g(γ)=0
    g(x)=x^4-ux^3+vx^2なので
    g(β)+g(γ)=β^4+γ^4-u(β^3+γ^3)+v(β^2+γ^2)=0 … (1)
    β,γはg'(x)=0の解なので
    4β^3=3uβ^2-2vβ, 4γ^3=3uγ^2-2vγ
    これを使って(1)の次数下げを行い、さらに
    β+γ=3u/4, βγ=v/2 とそれから得られる
    β^2+γ^2=(3u/4)^2-vを代入して整理すると
    27u^4-144u^2v+128v^2=0
    これより16v=3(3±√3)u^2
    (p+q)^2≧4pqから16v≦4u^2なので
    適解は16v=3(3-√3)u^2
    よって
    β={3u+√(9u^2-32v)}/8
    ={3u+√(9u^2-6(3-√3)u^2)}/8
    ={3+√(6√3-9)}u/8
    γ={3u-√(9u^2-32v)}/8
    ={3-√(6√3-9)}u/8
    従ってβ/γ={3+√(6√3-9)}/{3-√(6√3-9)}
    ={1+√3+√(2√3)}/2
    f(α)<f(β)の場合は左右反転すればよいので
    1+1/{(β/γ)-1}
    ={1+√(3+2√3)}/2

    以上により、(β-α)/(γ-α)の値は
    f(α)<f(β)<f(γ)のとき {1+√(3+2√3)}/2
    f(β)<f(α)<f(γ)のとき {1+√3+√(2√3)}/2


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