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■50041 / 3階層)  三次関数と長方形
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2019/09/09(Mon) 12:35:18)
    確かにそうすると手作業で求められるレベルになりますね。
    気付きませんでした。

    長方形の頂点のうちOA上にある頂点をx座標の大きい順にR,S、
    その他の頂点をx座標の小さい順にP,Qとし、
    直線PQとy=x^3のもう一つの交点をT(t,t^3)とおく。
    するとP,Qの範囲の条件から-2√3/3<t<-1となる。
    Tを通る傾き1の直線はy=x+t^3-t
    y=x^3とy=x+t^3-tからP,Qのx座標を求めると
    x={-t±√(4-3t^2)}/2
    PSの長さはPのx座標とy座標の差の1/√2倍であり、
    x座標とy座標の差はx-y=x-x^3=t-t^3なので、PS=(t-t^3)/√2
    PQの長さはPとQのx座標の差の√2倍なのでPQ=√(4-3t^2)・√2
    よって長方形の面積は(t-t^3)√(4-3t^2) … (1)

    (面積)^2=f(t)=(t-t^3)^2・(4-3t^2)=-3t^8+10t^6-11t^4+4t^2とおくと
    f'(t)=-24t^7+60t^5-44t^3+8t=-4t(t-1)(t+1)(6t^4-9t^2+2)
    -2√3/3<t<-1なので6t^4-9t^2+2=0からt=-√(27+3√33)/6
    これを(1)に代入すると、最大の面積は√(138-22√33)/24

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