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Nomal 2次不等式 /埼玉 (25/09/17(Wed) 20:20) #52937
└Nomal Re[1]: 2次不等式 /らすかる (25/09/18(Thu) 09:22) #52938
  └Nomal Re[2]: 2次不等式 /埼玉 (25/09/19(Fri) 07:26) #52946 解決済み!
    └Nomal Re[3]: 2次不等式 /らすかる (25/09/19(Fri) 09:07) #52947


親記事　/ ▼[ 52938 ]
■52937 / 親階層) 　2次不等式
□投稿者/ 埼玉 一般人(1回)-(2025/09/17(Wed) 20:20:44)
    xの2次不等式2x^2-4ax+a^2-b≦0が任意の実数aに対して整数の解をもつような実数bの値の範囲を求めよ。

    という問題なのですが、教えて下さい。
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▲[ 52937 ] / ▼[ 52946 ]
■52938 / 1階層) 　Re[1]: 2次不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2025/09/18(Thu) 09:22:41)
    2025/09/19(Fri) 09:03:56 編集(投稿者)

    b＜0のときa=0とおくと不等式はx^2≦b/2となり解なし。

    b≧0のとき不等式の実数解は
    a-√(2a^2+2b)/2≦x≦a+√(2a^2+2b)/2

    0≦b＜1/4のときa=1/2とおくと不等式の解は
    1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)/4
    となり、0≦b＜1/4から√2≦√(8b+2)＜2なので
    0＜1/2-√(8b+2)/4≦x≦1/2+√(8b+2)＜1
    となって整数解を持たない。

    1/4≦b＜1/2のとき
    |a|＜1/2ならばa^2-b＜0なので
    不等式は整数解x=0を持つ。
    |a|≧1/2ならば√(2a^2+2b)≧1なので
    不等式の実数解の範囲の長さが1以上となり、必ず整数解を含む。

    1/2≦bのとき√(2a^2+2b)≧1なので上記と同様に必ず整数解を含む。

    よって条件を満たす実数bの範囲は b≧1/4。

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▲[ 52938 ] / ▼[ 52947 ]
■52946 / 2階層) 　Re[2]: 2次不等式
□投稿者/ 埼玉 一般人(3回)-(2025/09/19(Fri) 07:26:16)
    なかなかこのようにスッキリとは考えられず、悔しいです。
解決済み!
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▲[ 52946 ] / 返信無し
■52947 / 3階層) 　Re[3]: 2次不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2025/09/19(Fri) 09:07:00)
    私もこの解答をスラスラと書いたわけではないですよ。
    場合分けや式変形をあれこれ考え、あーでもないこーでもない
    こうすると綺麗などいろいろ試行錯誤してから
    整理した結果です。
[ 親 52937 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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