 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
a, bは正の整数とします。
(1) b = 1 の場合
a = 1 ならば |√2-a/b| = |√2-1| > 1.4-1 > 1/(3*1^2) で題意は成立
a ≧ 2 ならば |√2-a/b| = |√2-a| = a-√2 > 2-1.5 > 1/(3*1^2) で題意は成立
(2) b ≧ 2 の場合
(2A) a/b ≧ 3/2 の場合
a/b > √2 ですので、
|√2-a/b|-1/(3b^2) = (a/b-√2)-1/(3*b^2)
≧ (3/2-√2)-1/12 = (17-12√2)/12 = {17^2-(12^2)*2}/{12(17+12√2)} = {289-288}/{12(17+12√2)} > 0
よって、|√2-a/b|-1/(3b^2) > 0 となり、題意は成立します。
(2B) a/b < 3/2 の場合
|√2-a/b| = |√2-a/b|(√2+a/b)/(√2+a/b)
= |2-(a/b)^2|/(√2+a/b)
= |2b^2-a^2|/{b(a+b√2)}
2b^2-a^2 ≠ 0 なので、|2b^2-a^2| ≧ 1 です。
従って、|√2-a/b| ≧ 1/{b(a+b√2)} と言えます。
a+b√2 < (3/2+√2)b < 3b ですので、1/{b(a+b√2)} > 1/(3b^2) です。
よって、|√2-a/b| > 1/(3b^2) となり、題意は成立します。
# 質問では |√2-a/b| ≧ 1/(3b^2) となっていますが、
# |√2-a/b|は無理数で、1/(3b^2)は有理数なので等号が成立することは無いです。
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