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微分で関数の最大値を求める /星は昴 (25/05/24(Sat) 18:30) #52879
`└` Re[1]: 微分で関数の最大値を求める /らすかる (25/05/24(Sat) 18:55) #52881
`└` 微分で関数の最大値を求める /星は昴 (25/05/24(Sat) 19:02) #52882
`└` Re[3]: 微分で関数の最大値を求める /らすかる (25/05/25(Sun) 11:36) #52884

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■52879 / 親階層)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)

　　f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)　　 (n,m は正の定数:x>0)

　　f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

　　x = m/n
　　x<m/n⇒f'(x)>0
　　x>m/n⇒f'(x)<0

　したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

　　f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}　 ①

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……②

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……③

　①が最大値であることを示すために、①②③の二乗を比較して①＞②、①＞③を証明したいがうまくいきません。
　①と③を比較して

　　{(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか？

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▲[ 52879 ] / ▼[ 52882 ]

■52881 / 1階層)

　Re[1]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)

x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
②や③の計算は不要です。

また、①は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

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▲[ 52881 ] / ▼[ 52884 ]

■52882 / 2階層)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)

　すばやい回答まことにありがとうございます。
> x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
> x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
> とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
　極値（この場合極大値）が１つしかないからですか？

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▲[ 52882 ] / 返信無し

■52884 / 3階層)

　Re[3]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)

結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
グラフで考えて
f(x)はx＜m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x＜m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
f(x)はx＞m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x＞m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
ということですから、f(m/n)は最大値になります。
# もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。

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